نظرية فيثاغورس: مفهومها وأهميتها وأمثلة عليها

مفهوم نظرية فيثاغورس

تعد نظرية فيثاغورس واحدة من أبرز وأشهر النظريات في الرياضيات، وتوضح العلاقة بين أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. يتم تطبيق هذه النظرية في العديد من المجالات التي تتطلب التعامل مع المثلثات القائمة.

شرح نظرية فيثاغورس من خلال مثلث قائم الزاوية

المثلث القائم الزاوية يتكون من ضلعين متعامدين يُسمَّيان بالضلعين القائمين، بالإضافة إلى الضلع الثالث، وهو “الوتر”، الذي يكون أطول من الضلعين الآخرين ويقابل الزاوية القائمة (التي تساوي 90 درجة). لإيجاد العلاقة بين هذه الأضلاع، يتم استخدام قانون فيثاغورس.

أو يمكن استخدام نظرية فيثاغورس لجميع المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد العلاقة بين أطوال الأضلاع الثلاثة كما يلي: (a²+b²=c²)حيث أن a و b هما أطوال الضلعين القائمين و c هو طول الوتر.

أي أن حاصل مجموع مربعي الضلعين القائمين، يساوي حاصل مربع طول الوتر وبعبارة أخرى نقول أن مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، ملاحظة هامة أنه عند استخدام نظرية فيثاغورس فإن من الضروري جداً تحديد وتر المثلث والضلعين القائمين حتى لا يتم الخلط بينهم.

أمثلة على كيفية استخدام نظرية فيثاغورس

مثال(1): لنفرض أن لدينا مثلث قائم الزاوية أطوال ضلعيه القائمين هما 5 سم و 7 سم. فما هو طول الوتر؟

5²+7²= x²
25+49=x²
x²=74
x=±√78
x=±8,6،

ولأن طول المسافة لا يمكن أن يكون بالسالب سيكون طول الوتر حوالي 8,6 سم.

مثال(2): لدينا مثلث قائم الزاوية ونعلم أن طول أحد ضلعيه القائمين هو 3 سم وطول الوتر 5 سم، يمكننا استخدام هذه المُعطيات مع نظرية فيثاغورس للحصول على طول الضلع القائم الثاني للمثلث، نعوض هذه القيّم في نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع المجهول x سم؟

3²+x²=5²
9+x²=25
x²=25-9
=16
x=±√16, x=±4

.لأن طول المسافة لا يمكن أن يكون سالباً، سيكون طول الضلع القائم الآخر هو 4 سم.

ثلاثيات فيثاغورس

تشمل نظرية فيثاغورس ثلاثة أعداد صحيحة موجبة x, y و z, حيث أن: x²+y²=z²

هذه الثلاثة أعداد تعرف بثلاثية فيثاغورس، حيث يوجد عدد لا نهائي من ثلاثيات فيثاغورس، على سبيل المثال (1:1:1) و(5:12:3) في المثال الثاني أعلاه لدينا مثال على ثلاثيات فيثاغورس، لأن أطوال أضلاع المثلث هي 3, 4 و 5 سم.