مبدأ حفظ الزخم الزاوي - Conservation of Angular Momentum

ما هو مبدأ حفظ الزخم الزاوي؟

ينص قانون الحفاظ على الزخم الزاوي على أنّه عندما لا يعمل عزم دوران خارجي على جسم ما، فلن يحدث أي تغيير في الزخم الزاوي (angular momentum)، لننظر في بعض الأمثلة على الزخم: تستمر الأرض في الدوران بنفس المعدل الذي كانت عليه لمليارات السنين، لا يحتاج الغواص الماهر الذي “يدور” عند القفز من على اللوح إلى بذل أي جهد بدني لمواصلة الدوران، وفي الواقع لن يكون قادرًا على التوقف عن الدوران قبل أن يضرب الماء، هذه الأمثلة لها السمات المميزة لقانون الحفظ، فيما يلي ملاحظات أخرى يجب مراعاتها:

• نظام مغلق شامل، لا شيء يبذل جهدًا لعمل انحراف للأرض أو الغطاس الماهر وهي معزولة عن تأثيرات تغيير الدوران، “ومن هنا جاء مصطلح “النظام المغلق”.

• شيء ما لم يتغير، يبدو أن هناك كمية عددية لقياس الحركة الدورانية بحيث تظل الكمية الإجمالية لتلك الكمية ثابتة في نظام مغلق.

• يمكن نقل شيء ما ذهابًا وإيابًا دون تغيير الكمية الإجمالية، يدور الغواص بشكل أسرع مع سحب الذراعين والساقين نحو الصدر من وضعية مشدودة بالكامل.

الزخم الزاوي – Angular Momentum:

الكمية المحفوظة التي نتحرى عنها تسمّى الزخم الزاوي، رمز الزخم الزاوي هو الحرف (L)، تمامًا كما يتم الحفاظ على الزخم الخطي في حالة عدم وجود قوى خارجية صافية، يكون الزخم الزاوي ثابتًا أو محفوظًا عندما يكون صافي عزم الدوران صفرًا، يمكننا أن نرى هذا من خلال النظر في قانون نيوتن الثاني للحركة الدورانية:

${\tau }^{}$

حيث: (τ) هو عزم الدوران، بالنسبة للحالة التي يكون فيها صافي عزم الدوران صفرًا، (dL/dt=0)، إذا كان التغير في الزخم الزاوي (ΔL) يساوي صفرًا، يكون الزخم الزاوي ثابتًا؛ لذا، (L) هي ثابت، (عندما صافي τ = 0)، هذا تعبير عن قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

أمثلة على مبدأ حفظ الزخم الزاوي:

مثال على الحفاظ على الزخم الزاوي يمكن رؤيته في متزلج على الجليد ينفذ دورانًا، إنّ صافي عزم الدوران عليه قريب جدًا من الصفر، لأنّ (1) هناك احتكاك قليل نسبيًا بين الزلاجات والجليد، و(2) يتم الاحتكاك بالقرب من النقطة المحورية، فمثلًا، للحفاظ على الزخم الزاوي: تدور متزلجة على الجليد على طرف تزلجها مع تمديد ذراعيها.

يتم الحفاظ على زخمها الزاوي لأنّ عزم الدوران الصافي عليها صغير بشكل مهم، ويزداد معدل دورانها بشكل كبير عندما تسحب ذراعيها، ممّا يقلل من لحظة القصور الذاتي لديها، ينتج عن العمل الذي تقوم به لسحب ذراعيها زيادة في الطاقة الحركية الدورانية، كل من (F) و(r) قيمتان صغيرتان، وهكذا، تكون:

${\tau }^{}={\text{r}}^{}\times {\text{F}}^{}$ 

صغير بشكل دقيق، وبالتالي، يمكنها الدوران لبعض الوقت، يمكنها أيضًا زيادة معدل دورانها عن طريق شد ذراعيها ورجليها، عندما تفعل ذلك، ينخفض القصور الذاتي الدوراني ويزداد معدل الدوران من أجل الحفاظ على الزخم الزاوي:

 constant

حيث: (I) الجمود الدوراني، و(ω) السرعة الزاوية، يعد الحفاظ على الزخم الزاوي أحد قوانين الحفظ الرئيسية في الفيزياء، إلى جانب قوانين الحفاظ على الطاقة والزخم “الخطي”، هذه القوانين قابلة للتطبيق حتى في المجالات المجهرية حيث تتحكم في ميكانيكا الكم؛ توجد بسبب التناظرات المتأصلة الموجودة في الطبيعة.

الاصطدامات الدورانية – Rotational Collisions:

في النظام المغلق، يتم الحفاظ على الزخم الزاوي بطريقة مماثلة للزخم الخطي، أثناء اصطدام الأشياء في نظام مغلق، يتم الحفاظ على الزخم دائمًا، يمكن رؤية هذه الحقيقة بسهولة في الحركة الخطية، عندما يصطدم جسم كتلته (m) والسرعة له (v)، بجسم آخر كتلته (m₂) والسرعة له (v₂)، فإنّ صافي الزخم بعد الاصطدام، يساوي (mv_1f + mv_2f)، هو نفسه الزخم قبل الاصطدام، (mv_1i + mv_2i).

ماذا لو تم إدخال عنصر الدوران للحركة؟ هل سوف يبقى الزخم محفوظًا؟ نعم، بالنسبة للأجسام ذات المكون الدوراني، يوجد زخم زاوي، يتم تعريف الزخم الزاوي، رياضيًا، على أنّه (L = Iω)، أو (L = rxp)، هذه المعادلة هي نظير لتعريف الزخم الخطي مثل (p = mv)، وحدة الزخم الخطي هي (kg⋅m / s)، بينما وحدات الزخم الزاوي هي (kg⋅m²/s).

كما نتوقع، فإنّ الجسم الذي لديه لحظة كبيرة من القصور الذاتي، مثل الأرض، لديه زخم زاوي كبير جدًا، الجسم الذي له سرعة زاوية كبيرة (ω)، مثل جهاز الطرد المركزي، له أيضًا زخم زاوي كبير إلى حد ما، لذا فإنّ الأجسام الدوّارة التي تصطدم في نظام مغلق لا تحافظ فقط على الزخم الخطي (p) في جميع الاتجاهات، ولكن أيضًا تحافظ على الزخم الزاوي (L) في جميع الاتجاهات.

مثال على الاصطدامات الدورانية:

على سبيل المثال، لنأخذ حالة الرامي الذي قرر إطلاق سهم كتلته (m1) على أسطوانة ثابتة كتلتها (m2) ونصف قطرها (r)، موضوعة إلى جانبها، إذا أطلق رامي السهام السهم بسرعة (v1i) واصطدم السهم بالأسطوانة عند حافتها الشعاعية، فما هو الزخم النهائي؟

تحدث دحرجة ضرب السهم، أي يصطدم السهم بحافة الأسطوانة ممّا يتسبب في تدحرجها، في البداية، تكون الأسطوانة ثابتة، لذلك ليس لها زخم خطي أو شعاعي (radially)، بمجرد تحرير السهم، يكون لديه زخم خطي قيمته تساوي (p = mv1i)، ومكون زاوي بالنسبة لمحور دوران الأسطوانات، (L = rp = rm1v1i)، بعد الاصطدام، يلتصق السهم بالأسطوانة المتدحرجة ويكون للنظام زخم زاوي صافي يساوي الزخم الزاوي الأصلي للسهم قبل الاصطدام.