الأعداد 1، 2، 3، 4، ……،ق هي أعداد صحيحة موجبة تُعرف بأنها الأعداد الطبيعية، ومجموع الأعداد الطبيعية السابقة مرفوع إلى درجات القوى المختلفة سواء القوى الأولى، أو القوى الثانية، وهكذا ….. يطلق عليها متسلسة الأعداد الطبيعية للقوى، وتعتبر مثل هذه المتسلسلات للأعداد الطبيعية من أهم وأبسط المتسلسلات.
مجموع متسلسلة الأعداد الطبيعية:
مجموع متسلسلة الأعداد الطبيعية من 1 إلى ق، مرفوع للقوة الأولى:
نظراً لأن القوى الأولى لأي عدد تمثل نفس العدد لذا فإن مجموع متسلسة الأعداد الطبيعية للقوة الأولى هي:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ……… + م + ….. + (ق – 2) + (ق – 1) + ق
ونظراً لانة في مثل هذه المتسلسلة نجد أن:
ح 1 = 1، ح 2 = 2، ح 3 = 3، ………، ح ق = ق
فتعتبر مثل هذه المتسلسلة متوالية عددية فيها:
الحد الأول = 1 والأساس = 1، وعدد الحدود = ق والحد الآخير = ق لذالك فإن مجموعها:
ولكن سيرمز للمتسلسلة الأعداد الطبيعية السابقة بالرمز:
(محـــــ ق (م))
ويتم التعبير عن مجموع هذه المتسلسلات رياضياً:
باستخدام القانون السابق يمكن إيجاد مجموع أية متسلسلة للأعداد الطبيعية مرفوعة للقوة الأولى وفقاً للمثال التالي:
ما مجموع متسلسة الأعداد الطبيعية من 1 إلى 50
ما ناتج مجموع متسلسلة الأعداد الطبيعية؟
(8 + 9 + 10 + ……… + 46)
نظراً لأن المتسلسلة لم تبدأ بالرقم (1) ولكي يتم الحصول على مجموع المطلوب سيتم إضافة مجموع متسلسلة من نفس القوة من 1 إلى 7 ثم يتم طرحها في نفس الوقت ليتم الحصول على مجموع المتسلسلة المطلوبة.
مجموع مربعات متسلسلة الأعداد الطبيعية:
مجموع مربعات متسلسلة الأعداد الطبيعية من (1) إلى (ق) (مرفوعة إلى القوة الثانية):
والمطلوب هنا إيجاد مجموع مربعات متسلسلة الأعداد الطبيعية أي مجموع:
(1)2 + (2) 2 + (3) 2 + (4) 2 +……. + (ق) 2
ويمكن التعبير عن مجموع (ق) من الحدود الأولى لهذه المتسلسلة رياضياً على هذه الصورة:
وللبرهنة على صحة هذا القانون فإننا نعلم أن:
(س + 1) 3 – (س – 1) 3 = 6 س 2 + 2
وبالتعويض في المعادلة السابقة عن قيمة س بأعداد طبيعية 1، 2، 3، 4، ……….، (ق -2)، (ق – 1)، ق، يتم التوصل إلى مجموع المتساويات الآتية:
2 3 – صفر = 6 × 1 2 +2
3 3 – 1 3 = 6 × 2 2 + 2
4 3 – 2 3 = 6 × 3 2 +2
5 3 – 3 3 = 6 × 4 3 + 2
ق 3 – ( ق – 2) 3 = 6 (ق – 1) 3 + 2
(ق + 1) 3 – (ق – 1) 3 =6 ق 2 + 2
(ٌق + 1) 3 + ق 3 – 1 = 6 ( 1 2+ 2 2 + 3 2 + ق 2 ) + 2 ق
إذاً (ق + 1) + ق 3 – 1 – 2 ق = 6 محــــ قم =1 (م 2 )
إذاً 2 ق 2 + 3 ق 2 + ق = 6 محــــ قم =1 (م 2 )
إذاً ق (2 ق 2 + 3 ق + 1) = 6 محــــ قم =1 (م 2 )
إذاً ق (ق + 1) (2 ق + 1) = 6 محــــ قم =1 (م 2 )
ما ناتج مجموع مربعات الأعداد الطبيعية من 1 إلى 90 ؟
