الشكل العام للمعادلة الخطية:
الشكل العام لهذه المعادلة هو: ص = أس + ب.
يلاحظ أن أكبر قوة (أس) للمتغيرات في المعادلة هو (1)، وعند تمثيلها بيانياً يكون الخط مستقيماً، فمن هنا جاءت تسميتها بالمعادلة الخطية.
أما (ص) فهو: متغير تابع.
(س) متغير مستقل، بحيث حسب قيمة (س) تتغير قيمة (ص)؛ لهذا يقال أن (ص) متغير تابع و(س) متغير مستقل.
(أ): معامل (س)، وهو ميل الخط المستقيم.
(ب): الحد المطلق، هو نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات.
ما هو الشكل العام لتمثيل المعادلة الخطية بيانياً؟
الشكل العام لتمثيل البياني للمعادلة الخطية كما في الشكل التالي:
وهذه بعض الأمثلة على المعادلة الخطية:
ص = 2 س + 1
س + 2 = 5 ق
ع 2 = ع 1 + ت ز
ولتبسيط فهم ميل الخط المستقيم، تُكتب معادلاتين خطيتين الشكل العام.
ص1 = أ 1 س1 + ب
ص2 = أ2س2 + ب، يلاحظ أن (ب) متساوية في المعادلتان، لذا يمر كلا الخطان في النقطة (ب) ويتقاطع الخطان مع محور الصادات في نفس النقطة، ولجعل (أ2) أكبر من (أ1)، يتم تمثيل المعادلتان بيانياً بالشكل العام، وأن (أ2) ˃ ( أ1) يكون ميلان الخط (2) أكبر من ميلان الخط (1).
يلاحظ أن الشكل التالي.
الميل يحمل معنياً فيزيائياً يوضح العلاقة بين المتغيرين (س ، ص) إذا كان الميلُ موجباً كما في الشكل.
فإن العلاقة بين المتغيرين علاقة طردية؛ بمعنى أنه إذا زاد المتغير الأول (س) يزاد المتغير الثاني (ص).
وقد يكون الميل سالباً أن تكون إشارة المعامل س (أ) سالبة ص = -أس +ب، فيكون التمثيل البياني لهذه المعادلة كما في الشكل:
والمعنى الفيزيائي للميل السالب أنه: إذا زادت (س) تقل (ص) وتسمى هذه العلاقة بين المتغيرين: علاقة عكسية.
لتمثيل أية معادلة خطية بيانياً يفترض قيماً للمتغير (س) من اختيارنا، وبسهولة يختار (1، 0، -1)، وتعوض في المعادلة ليتم إيجاد قيمة للمتغير (ص)، ليصبح أزواجاً مرتبة يتم تمثيلها بيانياً على المستوى الديكارتي، حتى يتم التوصيل بينها في خط مستقيم.
ومثال على ذلك:
المعادلة ص = 2س + 1 بيانياً كيف يتم إيجاد الميل؟
يتم اختيار قيماً للمتغير (س) ولتكن حسب الجدول التالي:
يتم تعويض قيمة (س = 1) في المعادلة وإيجاد قيمة (ص)
ص = 2(1) + 1 = 2 +1 = 3
ويتم تكرير الخطوة السابة لباقي قيم (س) من الجدول
س = 0، ص = 1
س = -1، ص = -1
أصبح الجدولُ جاهزاً للتمثيل البياني
وعندها يتم تعيّن الأزواج على المستوى الديكارتي، بحيث يكون المسقط الأول سيني والمسقط الثاني صادي.
ولإيجاد ميل الخط المستقيم الذي تم رسمه يتم تطبيق معادلة الميل.
هل قيمة الميل تساوي (2): معامل (س) أم لا؟
الميل = (ص2 – ص1)/ (س 2 – س 1)
يتم اختيار أي زوجين مرتبين واقعين على الخط المستقيم وليكون (0، 1)، (1، 3)
الميل = (3 – 1) / (1 – 0) = 2 / 1 = 2
الميل = (أ) معمل س
ولو تم إختيار أي زوجين مرتبين آخرين واقعين على الخط المستقيم ستكون النتيجة نفسها، لأن الميل ثابت.
