مقدمة في المتتاليات

نبذة تاريخية عن المتتاليات العددية:

تتمثل النبذة التاريخية لمفهوم المتتاليات العددية في الرياضيات من خلال ما يلي:

• لقد تمت دراسة مفهوم المتتاليات العددية لأول مرة في التاريخ من قبل اليونانيين، مثال عليها متتالية الأعداد الأولية ومتتالية أرخميدس.

• وفي بداية القرن الثالث عشر تم اكتشاف مفهوم المتتالية التراجعية البسيطة من قبل الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي التي سمية باسمه.

• درست المتتاليات الحسابية والهندسية في منطقة أوروبا والصين في فترة القرون الوسطى.

•  درس مفهوم المتتاليات العددية الموجودة في وقتنا هذا في عصر النهضة.

ما هو تعريف المتتالية؟

تعرف المتتالية على أنها ‏عبارة عن مجموعة محددة من الأشياء أو الأحداث أو الحروف التي ترتبط مع بعضها بنمط خطي معين، بحيث يكون لهذه الحروف معنى ودلالة محددة، ويكون ترتيب أجزاء المتتالية منظماً ومميزاً ومحدداً، وهذه الأعضاء يطلق عليها عناصر المتتالية أو حدود المتتالية.

ما هي أنواع المتتاليات العددية؟

• المتتالية الحسابية.

• المتتالية الهندسية.

• المتتالية التوافقية.

• متتالية فيبوناتشي.

ما هي المتتاليات الحسابية؟

إن المتتالية الحسابية عبارة عن أبسط أشكال المتتاليات وأشهرها، حيث يمكن أن نسمي المتتالية حسابية إذا كان كل عنصر فيها ناتج عن عملية جمع أو طرح رقم ثابت مع العنصر الذي يسبقه، مثالا على ذلك نفرض أن لدينا مجموعة من الأرقام التالية: (10، 12، 14، 16، 18، 20، 22)، حيث نسمي هذه المجموعة من الأرقام متتالية حسابية؛ لأن كل عنصر من عناصرها ينتج بعملية إضافة العدد 2 إلى العنصر السابق له.

قوانين المتتالية الحسابية:

كل نوع من أنواع المتتاليات يملك قوانين حساب خاصة به، ويشتمل أبرز قوانين المتتالية الحسابية ما يلي:

• الصيغة العامة: إن المتتالية الحسابية تنتج عن عملية جمع أو عملية طرح لرقم ثابت من كل عنصر من عناصرها.

• الحد العام: يمكننا إعطاء الحد العام بالشكل: a_n= a_m + (n-m)*d.

حيث أنّ:

• a_n: الحد ذو الترتيب n.

• a_m: الحد ذو الترتيب m السابق للحد n.

• d: أساس المتتالية.

ما هي المتتالية الهندسية؟

تعتبر المتتالية هندسية إذا كانت تملك مجموعة من الحدود طبيعية، بحيث ينتج عن الحد السابق بضربه أو عملية قسمته على عدد ثابت، ويسمى العدد الثابت بأساس المتتالية. مثالا على ذلك، لنمتلك مجموعة الأعداد التالية: (2، 4، 8، 16، 32) تسمى هذه الأعداد متتالية هندسية يعتبر أساسها 2، حيث ينتج كل عنصر بها عند ضرب الحد الذي يسبقه بالأساس2.

قوانين المتتالية الهندسية:

• الصياغة العامة: …, a, ar, ar², ar³, ar⁴.

• الحد العام: a_n=arⁿ⁻¹.

حيث أنّ:

• a_n: الحد ذو الترتيب n.

• r: أساس المتتالية.

الفروق الأساسية بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية:

• الفرق الرئيسي بين المتتاليات الحسابية والهندسية هو أن المتتالية الحسابية تتكون عن طريق عملية جمع أو عملية طرح رقم ثابت إلى الرقم الذي يكون قبله، ولكن في المتتالية الهندسية تتكون عن طريق ضرب أو قسمة الحد الذي يسبقه برقم ثابت.

• في المتتالية الحسابية يعتبر التغير بين أركانها تغيراً خطياً، أما في المتتالية الهندسية يعتبر التغير بين أركانها أُسيا.

• يعتبر مسار التغير في المتتالية الحسابية في نفس الاتجاه بين الحدود، لذلك إما أن تكون حدودها بتزايد أو تكون بتناقص، أما التغير في المتتالية الهندسية لا يكون في اتجاه معين لتتغير قيم المتتالية، حيث يمكن أن تتناقص وتتزايد قيم الحدود بشكل متبادل.

المتتاليات المتقاربة والمتباعدة:

يطلق على المتتالية العددية اللانهائية متقاربة، إذا كانت كل حدودها تتجمع بجوار عدد محدد، يسمى مركز التجمع نهاية المتتالية. ويطلق على المتتالية العددية غير متقاربة، إذا كانت كل حدوده ليست بجوار عدد محدد.

المتتالية التوافقية: