مقدمة في علم الاحتمالات

ما هو مفهوم علم الاحتمالات؟

يقصد بمفهوم علم الاحتمالات: أنه عبارة عن أحد أقسام الرياضيات المتخصصة في تحليل الحوادث العشوائية، فليس ممكن معرفة نتائج هذه الحوادث المؤكدة من قبل أن تحدث، ولكن إذا قمنا بمعرفة النتائج المحتملة لها فمن الممكن أن يكون التنبؤ بالنتيجة الفعلية صحيحا بالصدفة، وتعد التجربة التي نستطيع تكرارها عمليا أو افتراضيا أهم عنصر لكي نقوم بدراسة الاحتمالات، حيث يتم دراسة نتائج تكرارها ومقارنة الفروق فيما بينها بشرط أن تتكرر تحت نفس الظروف، ومن أحد الأمثلة عليها هو تجربة رمي قطعة نقدية ينتج عنها فضاء عيني يتمثل في نتيجتين محتملتين هما: الصورة والكتابة.

مفاهيم أساسية في الاحتمالات:

تظهر هنا المفاهيم الأساسية في دراسة الاحتمالات؛ لذلك يجب علينا معرفة المقصود بكل منها من قبل القيام بدراسة هذا المجال، وسنتحدث عن أهم هذه المفاهيم ما يأتي:

• التجربة: تعتبر التجربة عملية للحصول على ناتج محتمل من بين العديد من النتائج؛ كأن نقوم برمي القطعة النقدية من أجل أن نحصل على صورة أو كتابة.

• الفضاء العيني: يعبر عنة بمجموعة من الاحتمالات معا، ويتمثل الفضاء العيني لعملية رمي حجر نرد مرة واحدة هو من 1 إلى 6.

• الحدث: ويعنى به عملية وقوع نتيجة محددة أو مجموعة من النتائج تقع من ضمن الفضاء العيني، مثل: الحصول على رقم 5 نتيجة لرمي حجر النرد، أو 9 كمجموع رقمي حجري النرد الظاهرين.

• التكرار النسبي للنتيجة: ويعنى أنه النسبة بين تكرار وقوع نتيجة معينة إلى عدد المرات التي يتم فيها تنفيذ التجربة، ومثال ذلك: إذا تم رمي عملة نقدية 50 مرة، وتمّ الحصول على وجه الصورة 35 مرة، فإن التكرار النسبي لتلك النتيجة يكون ناتج قسمة 35 على 50، أيّ 0.35.

• نتائج ذات احتمالية متساوية: هي عبارة عن النتائج التي يمكن أن يكون تكرارها النسبي متساوي عند إجراء تجربة معينة مرات كثيرة، ويتمثل ذلك في: التكرار النسبي لكل من الصورة والكتابة عند رمي عملة نقدية لأكثر من مرة سيكون متساويا.

ما هي أنواع الاحتمالات؟

بوجد مجموعة متعددة ومختلفة من أنواع الاحتمالات وتقسم هذه الاحتمالات إلى ثلاثة أنواع رئيسية، وتتمثل هذه الأنواع من خلال ما يلي:

الاحتمال النظري: هو عبارة عن احتمال يعتمد حدوثه بشكل أساسي وثابت على المنطق، وتوضيح لذلك: نجد هنا أنّ الاحتمال النظري يهدف إلى الحصول على صورة عند رمي قطعة معدنية يساوي 0.5.

الاحتمال التجريبي: ويعرف على أنه عبارة عن الاحتمال الذي يركز بشكل أساسي على مراقبة التجربة أثناء حدوثها، ويمكن حسابه عن طريق القيام بقسمة عدد المرات التي يتم بها تكرار حدوثه على عدد مرات التي يتم بها تكرار التجربة، فمثلاً إذا قمنا برمي عملة معدنية ثمان مرات، وتم تسجيل عملية وقوعها على وجه الصورة 3 مرات؛ فإن الاحتمال التجريبي للصورة هنا يساوي 3/8.

الاحتمال البديهي: ويتمثل في أنه يعتمد بشكل رئيسي ومحدد على مجموعة من القواعد أو الثوابت قام باكتشافها عالم الرياضيات كولموغوروف، وتسمى قواعد كولموغوروف الثلاثة منسوبة له، حيث يتم من خلالها حساب الإمكانية التي يتم بها وقوع أو عدم وقوع الحوادث من خلال هذه القاعدة.

ما هي قوانين الاحتمالات في الرياضيات؟

يعرف القانون العام للاحتمالات رياضيًا من خلال ما يلي وهي: الاحتمال = عدد الطرق الممكنة لوقوع الحادث ÷ العدد الكلي لجميع الحوادث المحتملة، وعلى سبيل المثال إذا وجد صندوق يحتوي على أربعة قطع خشبية واحدة منها باللون الأزرق واثنتين باللون أخضر، فإنّ احتمال الحصول على قطعة خشب باللون الأزرق هو 1/4 واحتمال الحصول على قطعة خشب باللون الأخضر هو 2/4، وسيتم ذكر قوانين الاحتمالات في الرياضيات فيما يأتي:

القانون الأول للاحتمالات: يعبر عن قانون الاحتمال الأول رياضيًا بالعلاقة التالية من خلال ما يلي: ح ( احتمال وقوع حادث ما) يساوي 1/(العدد الكلي لجميع الحوادث المحتملة)، بحيث يكون احتمال الحادث محصورًا كالآتي: 0 ≤ احتمال أي حادث ≤ 1.00.

القانون الثاني للاحتمالات: في حالة وقوع حادثين منفصليْن أ وب يعبر عن القانون الثاني للاحتمالات ح ( أ أو ب) ورياضيًا بالعلاقة الآتية: ح( أ ∪ ب)=ح(أ)+ح(ب).

القانون الثالث للاحتمالات: في حالة وقوع حادثين أ وب بينهما حوادث مشتركة أو متقاطعة وكان احتمال وقوع الحادث ب معروفًا لإيجاد احتمال الحادث أ يعبر عن ذلك رياضيًا بالعلاقة الآتية: ح (أ / ب)=ح( أ ∩ ب)/ ح(ب).

القانون الرابع للاحتمالات: يعبر عن القانون الرابع رياضًيا بالعلاقة الآتية: ح( أ / ب)=ح(ب)، وذلك إذا كان الحادثين أ وب حوادث مستقلة.