نظرية التراكب في الدوائر الكهربائية - Superposition theorem

ما هي نظرية التراكب في الدوائر الكهربائية؟

تنص نظرية التراكب على أنّه في أي شبكة خطية ونشطة وثنائية لها أكثر من مصدر واحد، تكون الاستجابة عبر أي عنصر هي مجموع الاستجابات التي تم الحصول عليها من كل مصدر على حدة ويتم استبدال جميع المصادر الأخرى بمقاومتها الداخلية. تُستخدم نظرية التراكب لحل الشبكة حيث يوجد مصدرين أو أكثر ومتصلين.

بمعنى آخر، يمكن القول كما لو أنّ عدداً من مصادر الجهد أو التيار تعمل في شبكة خطية، فإنّ التيار الناتج في أي فرع هو المجموع الجبري لجميع التيارات التي سيتم إنتاجها فيه عندما يعمل كل مصدر بمفرده عندما يتم استبدال جميع المصادر المستقلة الأخرى بمقاوماتها الداخلية. إنّه قابل للتطبيق فقط على الدائرة الصالحة لقانون أوم (أي للدائرة الخطية).

لذلك، نحتاج إلى العثور على الاستجابة في فرع معين (n) مرات إذا كانت هناك (n) مصادر مستقلة. يمكن أن تكون الاستجابة في فرع معين إما تياراً يتدفق عبر هذا الفرع أو جهداً عبر هذا الفرع.

تعريف نظرية التراكب في الدوائر الكهربائية:

تعتمد نظرية التراكب على مفهوم الخطية بين استجابة وإثارة الدائرة الكهربائية. تنص على أن الاستجابة في فرع معين من الدائرة الخطية عندما تعمل مصادر مستقلة متعددة في نفس الوقت تعادل مجموع الردود بسبب كل مصدر مستقل يعمل في وقت واحد. في هذه الطريقة، سننظر في مصدر مستقل واحد فقط في كل مرة.

لذلك، علينا التخلص من المصادر المستقلة المتبقية من الدائرة. يمكننا التخلص من مصادر الجهد عن طريق تقصير محطتيهما وبالمثل، مصادر التيار عن طريق فتح طرفيها.

التحليل المتسلسل والمتوازي – Series / Parallel Analysis:

تتمثل الاستراتيجية المستخدمة في نظرية التراكب في التخلص من جميع مصادر الطاقة باستثناء مصدر واحد داخل الشبكة في وقت واحد، وذلك باستخدام التحليل المتسلسل / المتوازي لتحديد نقاط الجهد (و / أو التيارات) داخل الشبكة المعدلة لكل مصدر طاقة على حدة. بعد ذلك، بمجرد تحديد انخفاضات الجهد و / أو التيارات لكل مصدر طاقة يعمل بشكل منفصل، يتم فرض جميع القيم فوق بعضها البعض (مضافة جبريًا) للعثور على نقاط / تيارات الجهد الفعلية مع تنشيط جميع المصادر.

عند إعادة رسم الدائرة للتحليل المتسلسل أو المتوازي بمصدر واحد، يتم استبدال جميع مصادر الجهد الأخرى بأسلاك (قصيرة)، وجميع مصادر التيار بدوائر مفتوحة (فواصل)، نظراً لأنّ لدينا مصادر جهد (بطاريات) فقط في الدوائر التي نستخدمها بالعادة، فسوف نستبدل كل مصدر غير نشط أثناء التحليل بسلك.

شرح نظرية التراكب في الدوائر الكهربائية:

دعونا نفهم نظرية التراكب بمساعدة مثال.  تخيل أنّه لدينا مخطط دائرة كهربائية، ويتكون مخطط الدائرة من مصدرين للجهد (V1) و(V2). أولاً، سنأخذ المصدر (V1) بمفرده ونقصر مصدر (V2) في الدائرة التي لدينا. هنا، يتم حساب قيمة التيار المتدفق في كل فرع (i1) و(i2) و(i3) بالمعادلات التالية:

  i′₁ = ( V₁ / ( r₂ r₃ / r₂ + r₃ ) + r₁ ) …… (1) 

i′₂ = i′₁ ( r₃ / r₂ + r₃ )…… (2)

الفرق بين المعادلتين أعلاه يعطي قيمة التيار (i3):

i′3 = i′1 – i′2

الآن، قم بتنشيط مصدر الجهد (V2) وإلغاء تنشيط مصدر الجهد (V1) عن طريق قصر الدائرة عليه، ابحث عن التيارات المختلفة، (i1 ‘وi2′ وi3’) المتدفقة في الدائرة الكهربائية.

حيث:

  i″₂ = V₂ / ((r₁ r₃ / r₁+ r₃) + r₂)

and

i″₁ = i″₂ ( r₃ / r₁ +r₃)

وسيتم حساب قيمة التيار (i3″) بالمعادلة الموضحة أدناه:

 i′′3 = i′′2 – i′′1

وفقاً لنظرية التراكب، يتم الآن حساب قيمة التيار (i1 وi2 وi3) على النحو التالي:

i3 = i′3 + i′′3

 i2 = i′2 – i′′2

i1 = i′1 – i′′1

يجب الاهتمام باتجاه التيار أثناء إيجاد التيار في الفروع المختلفة.

خطوات حل الشبكة بواسطة نظرية التراكب:

بالنظر إلى الدائرة الكهربائية، دعونا نرى الخطوات المختلفة لحل نظرية التراكب:

الخطوة 1: خذ مصدراً واحداً مستقلاً للجهد أو التيار وقم بإلغاء تنشيط المصادر الأخرى.

الخطوة 2: في الدائرة الكهربائية، ضع في اعتبارك المصدر (E1) واستبدل المصدر الآخر (E2) بمقاومته الداخلية. إذا لم يتم إعطاء مقاومته الداخلية، فسيتم اعتباره صفراً ويكون المصدر قصير الدائرة.

الخطوة 3: إذا كان هناك مصدر جهد من ماس كهربائي (short circuit)، وإذا كان هناك مصدر تيار، فما عليك سوى فتح الدائرة.

الخطوة 4: وبالتالي، عن طريق تنشيط مصدر واحد وإلغاء تنشيط المصدر الآخر، ابحث عن التيار في كل فرع من فروع الشبكة. على سبيل المثال، ابحث عن التيارات (I1 وI2 وI3).

الخطوة 5: فكر الآن في المصدر الآخر (E2) واستبدل المصدر (E1) بمقاومته الداخلية (r1) على سبيل المثال.

الخطوة 6: تحديد التيار الكهربائي في أقسام مختلفة، (I1 ،”I2″ وI3″).

الخطوة 7: الآن لتحديد تيار الفرع الصافي باستخدام نظرية التراكب، أضف التيارات التي تم الحصول عليها من كل مصدر فردي لكل فرع.

الخطوة 8: إذا كان التيار الذي يحصل عليه كل فرع في نفس الاتجاه، فقم بإضافتهما وإذا كان في الاتجاه المعاكس، اطرحهما للحصول على صافي التيار في كل فرع.

سيتم إعطاء التدفق الفعلي للتيار في الدائرة النهائية من خلال المعادلات الموضحة أدناه:

i1 = i′1 – i′′1

 i2 = i′2 – i′′2

i3 = i′3 – i′′3

المتطلبات الأساسية لنظرية التراكب:

يجب ملاحظة أنّ نظرية التراكب تعمل فقط للدوائر التي يمكن اختزالها إلى مجموعات متسلسلة / متوازية لكل مصدر من مصادر الطاقة في وقت واحد، وبالتالي، فإنّ هذه النظرية غير مفيدة لتحليل دائرة الجسر (bridge circuit) غير المتوازنة، وهي فقط تعمل حيث تكون المعادلات الأساسية خطية أي لا توجد قوى أو جذور رياضية. إنّ شرط المعادلة الخطية يعني أنّ نظرية التراكب قابلة للتطبيق فقط لتحديد الجهد والتيار، وليس القدرة الكهربائية.

تشتت الطاقة، كونها علاقات غير خطية، لا تضيف جبرياً إلى إجمالي دقيق عندما يتم النظر في مصدر واحد فقط في كل مرة. تعني الحاجة إلى العلاقة الخطية أيضاً أنّ هذه النظرية لا يمكن تطبيقها في الدوائر حيث تتغير مقاومة أحد المكونات مع الجهد أو التيار. ومن ثم، لا يمكن تحليل الشبكات التي تحتوي على مكونات مثل المصابيح (المتوهجة أو تفريغ الغاز) أو المتغيرات.

شرط أساسي آخر لنظرية التراكب هو أنّ جميع المكونات يجب أن تكون “ثنائية”، مما يعني أنّها تتصرف بنفس الطريقة مع الإلكترونات التي تتدفق في أي اتجاه من خلالها. ليس للمقاومات سلوك خاص بالقطبية، وبالتالي فإنّ الدوائر التي كنا ندرسها حتى الآن تلبي جميعها هذا المعيار.

تكتشف نظرية التراكب استخدامها في دراسة دوائر التيار المتردد (AC)، ودارات أشباه الموصلات (مكبر الصوت)، حيث غالباً ما يتم خلط التيار المتردد (المتراكب) مع التيار المستمر. نظراً لأنّ معادلات التيار المتردد والتيار المتردد (قانون أوم) خطية تماماً مثل التيار المستمر، يمكننا استخدام التراكب لتحليل الدائرة باستخدام مصدر طاقة التيار المستمر فقط، ثم مصدر طاقة التيار المتردد فقط، والجمع بين النتائج لمعرفة ما سيحدث مع كل من التيار المتردد والتيار المتردد.

مصادر التيار المستمر سارية في الوقت الحالي، على الرغم من ذلك، فإنّ التراكب سيكون كافياً باعتباره استراحة من الاضطرار إلى القيام بمعادلات متزامنة لتحليل الدائرة.