مبدأ نظرية ذات الحدين:
أي أن معامل كل حدين على بعدين متساوين من الطرفين يكونا متساوين:
فمعامل الحد الأول = معامل الحد الأخير = 1 دائماً.
ومعامل الحد الثاني من الأمام = معامل الحد الثاني من الخلف.
ومعامل الحد الثالث من الأمام = معامل الحد الثالث من الخلف، وهكذا…….
أي أن معامل كل حدين على بعدين متساوين من الطرفين يكونا متساوين.
فإذا تم أخذ:
(س + ص) = س + ص، فإن معامل حدودها (1، 1).
(س + ص) 2 = (س 2 + 2 س ص + ص 2) فك العبارة التربيعية، فإن معاملات حدودها (1، 2، 1).
(س + ص) 3 = س 3 + 3 س 2 ص + 3 س ص 2 + ص 3، فإن معاملات حدودها (1، 3، 3، 1).
(س + ص) 4 = س 4 + 4 س 3 ص + 6 س 2 ص 2 + 4 س ص 3 + ص 4 فإن معاملات حدودها (1، 4، 6، 4، 1)، وهكذا ……….
ويطلق على المعاملات في المفكوك ذو الحدين السابق “مثلث باسكال” ويتميز هذا المثلث بالتالي:
أن معامل كل من الحد الأول والحد الأخير هو (1)، وأن معامل أي حد ممكن الحصول عليه يجمع كل من (معامل الحد الذي فوقة مباشرة + معامل الحد الذي على اليمين الذي فوقة مباشرة).
ففي مفكوك ذو الحدين الأخير (س + ص) 4 نجد أن معامل الحد الثاني (4) عبارة عن (3 + 1)، ومعامل الحد الثالث (6) عبارة عن (3 + 3) ومعامل الحد الرابع (4) عبارة عن (1 + 3) … وهكذا.
الحد الأول (س) مرفوعة إلى أسس محددة في المفكوك السابق حيث نجد:
وهنا نلاحظ أن: أس الحد الأول في المفكوك هو (ن)، وأس الحد الثاني هو (ن – 1) …. وأس الحد (ر) هو (ن – ر + 1) وأس الحد (ر + 1) هو (ن – ر) ……. و أس الحد الأخير ( ن + 1) هو (ن – ن) وهو صفر، أي أن أسس الحد الأول (س) في ذو الحدين تكون في الترتيب تنازلي تبدأ (ن) وتنتهي (صفر) …. وأس كل حد في المفكوك ينقص عن سابقه بمقدار (1)، وبمعنى آخر فإن أسس الحد الأول (س) تكون في شكل متوالية عددية تنازلية حدها الأول (ن) وأساسها (-1) وحدها الأخير (صفر).
الحد الثاني (ص) مرفوع إلى أسس محدد:
الحد الثاني (ص) مرفوعة إلى أسس محدد في مفكوك السابق حيث نجد:
وهنا نلاحظ أيضاً:
أس الحد الأول في المفكوك هو (ن – ن) أي صفر، وأس الحد الثاني هو (1) وأس الحد الثالث هو (2) ……..، وأس الحد (ر) هو (ر – 1)، وأس الحد (ر + 1) هو (ر) …..، وأس الحد (ن) هو (ن – 1)، وأس الحد (ن + 1).
أي أن أسس الحد الثاني (ص) في مفكوك ذو الحدين تكون في الترتيب تصاعدي تبدأ بـ (صفر) وتنتهي بـ (ن) وأس كل حد في مفكوك ذو الحدين تزيد بمقدار (واحد) عن سابقه، وبمعنى آخر فإن أسس الحد الثاني (ص) تكون في شكل متتالة عددية تصاعدية حدها الأول (صفر وأساسها (1) وحدها الأخير (ن)، كما أن أس الحد في المفكوك ينقص واحد عن ترتيب الحد.
