ديراك دلتا - Dirac Delta

إنّ ديراك دلتا هي لبنة أساسية في الاتصالات الحديثة، مماثلة في الأهمية لـ(FFT)، وجاءت الوظيفة نتيجة بحث أجراه الفيزيائي البريطاني بول ديراك حول نمذجة شحنة نقطية وإنّها في الواقع ما يسمى بالتوزيع أو وظيفة معممة، كما يمكن تصورها بشكل فعال للغاية باستخدام برامج الاتصالات مثل (Scicos) أو راديو جنو.

ما هو ديراك دلتا – Dirac Delta؟

دلتا ديراك: تُعرف على أنّها صفر السعة في كل مكان باستثناء (t=0) حيث تكون كبيرة بشكل لا نهائي كما تحتوي على وحدة المنطقة الواقعة تحت منحنها، وقدم بول ديراك دالة ديراك دلتا (δ-function) في نهاية العشرينيات من القرن الماضي في محاولة لإنشاء الأدوات الرياضية لتطوير نظرية الحقل الكمي، ومنذ ذلك الحين تم استخدامه بنجاح كبير في الرياضيات التطبيقية والفيزياء الرياضية.

خصائص ديراك دلتا:

• الموجة الواحدة تساوي صفراً في كل مكان باستثناء نقطة الأصل حيث يكون لها اتساع لانهائي مع مدة صغيرة جداً.
  
• ينتج عن تحويل فورييه طيفاً لا نهائياً بقيمة الوحدة أمّا في العالم الحقيقي يعني هذا أنّ النبضة السريعة جداً، مثل نبضة الرادار التي لها طيف مسطح واسع جداً.
  

الحد من سلوك الموجة باستخدام ديراك دلتا:

يمكن نمذجة نبضة الوحدة أو دالة دلتا ديراك (δ (t من خلال النظر في سلسلة فورييه لقطار النبض المستطيل وإنّ النبضة الوحدة هي قطار النبض بسعة (A=1 / time)، بحيث أنّ مساحة منطقة ما هي (A*Time = 1) بشرط أن يكون الزمن لانهائي والسعة أكبر من صفر.

تطبيقات ديراك دلتا:

•  إشارة التيار المستمر: يتم تحويل إشارة التيار المستمر إلى مجال التردد في دالة دلتا.
  
• دالة أسية معقدة: الدالة الأسية معقدة للتردد (fc) يتحول في مجال التردد إلى دالة دلتا عند (f = fc).
  
• الوظيفة الجيبية: عند استخدم خاصية أويلر فإنّ الإشارة تصبح خطوط عامودي متجهة للأعلى عند كل تردد معين إمّا موجب أو سالب.
  
• وظيفة الإشارة: وظيفة الإشارة غير مرضية بشروط (Diriclet)؛ لأنّ طاقتها ليست محدودة. 
  
• قد نحدد تحويل فورييه الخاص به من خلال رؤيته على أنّه الشكل المحدد إذا كان النبض الأسي المزدوج غير المتماثل.
  
• وظيفة خطوة الوحدة: تحويل فورييه للوحدة يمكن اشتقاق الخطوة باستخدام تحويل فورييه لدالة إشارة وخاصية الخطية.
  
• تمثيل التوزيعات المنفصلة.
  
• تحولات المتغيرات العشوائية.
  
• خاصية عدم المساواة لماركوف.
  

كيف تكون دالة دلتا ديراك مستمرة عند x = 0؟

تُعد دالة ديراك على أنّها توزيع والتوزيعات على الأعداد الحقيقية ليست وظائف للواقع والخاصية المحددة لدالة دلتا ديراك عند الصفر هي أنه عندما “تكامل f مرات دلتا” تحصل على (f (0، بشرط أن تكون f متصلة ويعتبر الدمج رسمياً فقط ولا يعمل بشكل صارم، ما ينجح هو الحديث عن التوزيع نفسه كدالة للوظائف أي تلك التي ترسل f إلى (f(0 على هذا النحو فهو مستمر، ليس كدالة للأرقام الحقيقية ولكن كتوزيع على مساحة محددة بشكل مناسب من الوظائف المستمرة، وتُعد وظيفة دلتا ديراك هي وظيفة محلية للغاية وهي صفر في كل مكان تقريباً بحيث تكون موجات الجيبية المختلفة متعمدة كما يمكن أن يكون التعامد معبراً عنها من حيث وظائف دلتا ديراك.

أنواع ديراك دلتا:

1. دلتا ديراك أحادي الأبعاد:

يمكن تفسير التكامل الخاص بها على أنّه حد لا يتجزأ من دالة عادية تتقلص في العرض وتنمو في الارتفاع، مع الحفاظ على المساحة الثابتة، فعلى سبيل المثال يمكننا استخدام دالة مستطيل متقلص.

2. دلتا ديراك ثنائية الأبعاد:

 يمكن النظر في حد تكامل دالة ثنائية الأبعاد عادية تتقلص في العرض ولكنّها تزداد في الارتفاع مع الحفاظ على مساحة ثابتة.

ملاحظة: دوال ديراك دلتا ليست وظائف عادية يتم تحديدها بواسطة القيمة عند كل نقطة بدلاً من ذلك فهي وظائف عامة يتم تحديدها بما يفعلونه أسفل التكامل.

الفرق بين ديراك دلتا وKronecker delta:

 ما هو Kronecker delta؟

دلتا Kronecker: هو تسلسل معلومات المجال الزمني، وتوفر تحويلات فترات انتقائية التردد ومعلومات التردد.

تُستخدم وظائف دلتا لأخذ عينات من إشارات المجال الزمني في معالجة الإشارات، ولكن غالباً ما يكون نوعها غير مذكور أو محدد بشكل غير صحيح، ودالة ديراك هو مستمر وظيفة (d (t-1 الذي لا يتجزأ تساوي بالضبط 1 وله قيمة غير صفرية فقط عندما يكون قيمة الزمن تساوي المساحة، ومن ثم فهو متناهي الصغر في العرض أي عرضه يقترب من 0 وطوله بلا حدود أي اتساعه يقترب من اللانهاية، يتم تطبيق دلتا ديراك على الإشارات التماثلية المستمرة لإرجاع دالة النبضة المتدرجة المستمرة في لحظة زمنية محددة (يُشار إليها بمجال دلتا ديراك).

يتم ذلك عن طريق أخذ التكامل على جميع قيم الإشارة (x(t أضعاف دلتا ديراك المتمركزة في (d (ta الوظيفة الناتجة هي دالة مستمرة تساوي( (x (a) * d (ta)، ووظيفة دلتا كرونيكير هي بالمثل متناهي الصغر رقيقة، ولكن لها سعة تساوي 1، وليس منطقته، الدالة (d (ta تساوي 1 عندما تكون t = a و0 بخلاف ذلك، أي عندما تكون (t=a) دلتا كرونيكر هي دالة منفصلة، وإنّه يطبق نبضة منفصلة على إشارة مستمرة، ويعيد السعة الأصلية للإشارة لذلك تكون الدالة الناتجة منفصلة وتساوي ((x (a) * d (ta).

ونظراً إلى أنّ الوظيفة منفصلة غير مطلوبة، فإنّ معظم النصوص ستستدعي دالة دلتا بنوع ديراك إن وجد، ولكن إذا كان الأمر كذلك فإنّ الإشارة المنفصلة سيكون لها جميع السعات اللانهائية (الإيجابية والسلبية) لذا فإنّ الاختلاف كبير.

توفر دالة دلتا ديراك أداة مفيدة للغاية في الإحصاء الرياضي، وقد تم تقديم عدة أمثلة في هذه المخطوطة لإثبات فائدتها ومن أهم مزاياها توفير نهج موحد لمعالجة التوزيعات المنفصلة والمستمرة، بالنظر إلى الطبيعة المعممة للدالة δ ومشتقاتها، فإنّ نهج (δ-function) لديه القدرة على تسهيل فهم وتطوير المفاهيم الكلاسيكية في الإحصاء الرياضي كما يتم استخدام دلتا ديراك في سياق إشارات الوقت المستمر لتحديد النبضات بحيث يتم تعريفه على أنّه عرض صغير بشكل لا نهائي وبالتالي حجم كبير ومع ذلك فإن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى تتكامل مع 1.

الدافع من ديراك دلتا:

1. ديراك دلتا لحدود تسلسل الوظائف:

تستخدم في المساحة أو تكامل عندما يكون ( f_n (t) = 1 لكل قيمة n = 1،2،3) وكلما زاد (n) كلما كان النبض أضيق في الوقت المناسب، لكن السعة تزداد بحيث المساحة الكلية هو نفسه بالنسبة لجميع قيم (n) كما يمكن اعتبار وظيفة (Dirac-Delta) بمثابة الحد حيث يصبح (n) كبيراً جداً لتسلسل(f_n).

2. ديراك دلتا لعملية الغربلة:

تحتاج منطقة التكامل فقط إلى احتواء (t = 0)، ولا تحتاج بالضرورة إلى الانتقال من السالب اللانهاية إلى الموجب اللانهاية، وتُعد هذه الخاصية مفيدة للغاية في معالجة الإشارات ونظرية أنظمة الاتصال وفيزياء الكم، وتُعرف هذه الخاصية باسم “خاصية الغربلة” لوظيفة النبض.