مبدأ الوزن في القیاسات المساحیة

القیاسات المساحیة:

إن جميع القياسات متساوية في الدقة والأهمية، ماذا لو تم إجراء بعض القياسات باستخدام شريط بينما تم إجراء قياسات أخرى باستخدام جهاز EDM؟ هل ستكون جميع القياسات مهمة وموثوقة بنفس القدر؟ هذا هو دور الوزن (weight) كمفهوم يعبر عن الاختلاف في الأهمية أو الثقة في بعض القياسات.

كلما زادت الثقة في الرصد زاد وزنه (الأهمية النسبية)، والعكس صحيح كلما انخفضت الثقة في رصدة معينة قل وزنها، على سبيل المثال إذا قمنا بمراقبة زاوية معينة مرة واحدة باستخدام محطة كاملة بدقة 1 “ومرة أخرى باستخدام الثیودلیت بدقة 5″، حيث يجب أن يكون وزن الزاوية الأولى – منطقيًا – أكبر من الوزن الزاوية الثانية، حيث أن دقة الجهاز المستخدم أعلى في الأولى منها في الثانية.

مبدأ الوزن في القیاسات المساحیة:

واستناداً إلى مبدأ الوزن (أو النسبية) ستتغير طريقة حساب المتوسط ​​لحساب ما نسميه المتوسط ​​الموزون لتمييزه عن المتوسط ​​الطبيعي، والذي كان يعتمد على حقيقة أن جميع القياسات متساوية في الأهمية أو متساوية في وزن). المتوسط الموزون = مجموع (حاصل ضرب كل رصدة× وزنھا) / مجموع الأوزان

كما ستتغير طريقة حساب الانحراف المعياري أيضًا، وذلك عندما تكون هناك أوزان مختلفة للمقاييس عن طريق حساب الجذر التربيعي لقيمة المنتج بقسمة مجموع المنتج (مربع الخطأ المتبقي لكل ملاحظة في ملاحظة الوزن) بعدد المشاهدات ناقص واحد. بالإضافة إلى ذلك ستتغير معادلة حساب الانحراف المعياري للمتوسط ​​لتصبح ناتج قسمة الانحراف المعياري على الجذر التربيعي لمجموع الأوزان.

مثال:

تم قياس المسافة ست مرات وكانت الملاحظات على النحو التالي ,٥١.١٩ ,٥١.١٨ ,٥١.١٤ ,٥١.١٢ , ٥١.١٦ ,٥١.٢٢ متر، كانت أوزان الأرصاد بالترتيب ٣ ،١ ،١ ، ٣ ،٥ ،٦ احسب القيمة الأكثر احتمالا لهذه المسافة.

نحسب مجموع الأوزان = ٣ + ١ + ١ + ٣ + ٥ + ٦ = ١٩

نحسب حاصل ضرب الرصدة × وزنھا:

الرصد رقم واحد=  ٦ × ٥١.١٢ = ٣٠٦.٧٢٠

الرصدة رقم اثنين  = ٥ × ٥١.١٤ = ٢٥٥.٧٠٠

وھكذا كما في العمود الرابع من الجدول التالي:

مجموع (الرصدة × الوزن ) أي مجموع العمود الرابع = 971.850

المتوسط الحسابي الموزون = مجموع (الرصدة × الوزن) ÷ مجموع الأوزان

= ٩٧١.٨٥٠ ÷ ١٩ = ٥١.١٥٠ متر

نحسب الخطأ المتبقي لكل قیاس = المتوسط الموزون – الرصدة

الخطأ المتبقي للرصدة رقم واحد  = ٥١.١٢ – ٥١.١٥٠ = ٠.٠٣٠ متر

الخطأ المتبقي للرصدة رقم اثنين = ٥١.١٤ – ٥١.١٥٠ = ٠.٠١٠ متر

وھكذا كما في العمود الخامس من الجدول التالي:

نحسب مربع كل خطأ متبقي للقیاسات:

مربع الخطأ المتبقي للرصدة رقم واحد = 0.030 × 0.030 = ٠٠٠٩.٠ متر مربع

مربع الخطأ المتبقي للرصدة رقم اثنين = 0.010 × 0.010 = 0.00001 متر مربع

نحسب حاصل ضرب (الخطأ المتبقي× الوزن):

للرصدة رقم واحد = 0.0009 × 6 = 0.0054 متر

للرصدة رقم اثنين = 0.0001 × 5 = 0.0005 متر

وھكذا كما في العمود السابع من الجدول التالي:

نحسب مجموع حاصل ضرب (مربعات الأخطاء المتبقیة × الوزن) أي مجموع العمود السابع = 0.0154 متر مربع

نحسب تباين العينة = 0.0154 ÷ ( 6-1 )

= 0.00308 متر مربع

نحسب الانحراف المعياري = جذر  ( 0.00308 )

= 0.055 متر

القيمة الأكثر احتمالا = المتوسط ± الانحراف المعياري

= 51.150 ±  0.013 متر

بمقارنة نتائج ھذا المثال بنتائج المثال السابق نجد أن:

قیمة المتوسط الموزون (51.150 متر) تختلف عن قیمة المتوسط العادي ( 51.168 متر ). كما أن قیمة الانحراف المعیاري للمتوسط الموزون (± 0.013 متر) أقل من قیمة الانحراف المعياري العادي (±0.015 متر).

سبب هذه الاختلافات هو أننا في المثال الأول تعاملنا مع جميع الملاحظات بنفس الوزن أو الأهمية أو الثقة، بينما في المثال الثاني تمكنا من التفريق بين الملاحظات الموثوقة (التي لها وزن كبير) حيث إن الملاحظات قليلة الثقة أو الأهمية (ذا الوزن المنخفض)، مما يجعل قيمة المتوسط ​​المرجح أقرب إلى الملاحظات الموثوقة بها.

بالإضافة إلى ذلك فإن قيمة الانحراف المعياري في المثال الثاني أقل من قيمة المثال الأول؛ وذلك لأن الملاحظات ذات الوزن المنخفض لم يعد لها أي تأثير إلى حد كبير بعد الآن، مما يقلل من قيمة التباين أو التشتت، ومن بين مجموعة الملاحظات ككل، وهذا يؤدي إلى تحسن في قيمة الانحراف المعياري للمتوسط، كما يعني لم تعد الملاحظات ذات الوزن المنخفض مؤثرة للغاية مما يقلل من قيمة التباين أو التشتت بين مجموعة الملاحظات ككل وهذا يؤدي إلى تحسين قيمة الانحراف المعياري للمتوسط.