اقرأ في هذا المقال
- ما هو مرشح بتروورث
- أساسيات فلتر بتروورث
- مقياس التردد اللوغاريتمي في فلتر بتروورث
- التصفية التقريبية في فلتر “مرشح” بتروورث
- كيفية تصميم مرشح بتروورث منخفض التمرير
- استجابة التردد المثالية لفلتر بتروورث
في التطبيقات التي تستخدم المرشحات لتشكيل الطيف الترددي للإشارة كما هو الحال في أنظمة الاتصالات أو التحكم يُطلق على شكل أو عرض التدحرج أيضاً اسم “نطاق الانتقال”، لأنّ مرشحاً بسيطاً من الدرجة الأولى قد يكون طويلاً جداً أو مطلوب مرشحات واسعة وفعالة للغاية مصممة بأكثر من “طلب” واحد، وتُعرف هذه الأنواع من المرشحات عموماً بالفلاتر “عالية الترتيب” أو “المرشحات من المرتبة n”.
ما هو مرشح بتروورث
مرشح بتروورث: هو نوع من مرشحات معالجة الإشارات المصممة بحيث تكون استجابة التردد مسطحة قدر الإمكان في نطاق التمرير، ومن ثم يُعرف مرشح “Butterworth” أيضاً باسم “مرشح الحجم الأقصى المسطح”، كما تم اختراعه في عام 1930م من قبل المهندس والفيزيائي البريطاني ستيفن باتروورث في ورقته البحثية بعنوان “حول نظرية مكبرات الصوت المرشحة”.
أساسيات فلتر بتروورث
تكون استجابة التردد لمرشح “Butterworth” مسطحاً في نطاق التمرير أي مرشح ممر النطاق وانقطاعات متدرجة نحو الصفر في نطاق التوقف، كما يعتمد معدل استجابة التدحرج على ترتيب المرشح وسيحدد عدد العناصر التفاعلية المستخدمة في دائرة المرشح ترتيب المرشح.
يتم تعيين نوع التعقيد أو المرشح من خلال “ترتيب” المرشحات والذي يقوم على عدد المكونات التفاعلية مثل المكثفات أو المحاثات داخل تصميمه، كما أن معدل التدحرج وبالتالي عرض النطاق الانتقالي ويعتمد على رقم طلب المرشح وأنّه بالنسبة لمرشح بسيط من الدرجة الأولى، يكون معدل التدحرج القياسي “20 ديسيبل / عقد” أو “6 ديسيبل / اوكتاف”.
بعد ذلك بالنسبة للمرشح الذي يحتوي على ترتيب رقمي “n”، سيكون له معدل دوران لاحق قدره “20 ديسيبل / عقد” أو “6 نان ديسيبل / أوكتاف”، لذا فإنّ مرشح الدرجة الأولى لديه معدل دوران “20 ديسيبل / عقد” أي “6 ديسيبل / أوكتاف”” ومرشح من الدرجة الثانية لديه معدل دوران “40 ديسيبل / عقد” أي “12 ديسيبل / أوكتاف”، ومرشح من الدرجة الرابعة لديه معدل التدحرج “80 ديسيبل / عقد” أي “24 ديسيبل / أوكتاف”.
عادةً ما يتم تشكيل المرشحات عالية الترتيب مثل الترتيب الثالث والرابع والخامس عن طريق التتالي مع عوامل التصفية الفردية من الدرجة الأولى والثانية، وعلى سبيل المثال يمكن تجميع مرشحين تمرير منخفض من الدرجة الثانية معاً لإنتاج مرشح تمرير منخفض من الدرجة الرابعة، وعلى الرغم من عدم وجود حد لترتيب المرشح الذي يمكن تشكيله فكلما زاد الطلب يزداد حجمه وتكلفته وتنخفض دقته أيضاً.
تعليق واحد أخير حول العقود والأوكتاف، وعلى مقياس التردد العقد هو زيادة بمقدار عشرة أضعاف أي الضرب في 10 أو انخفاض بمقدار عشرة أضعاف أي قسمة على 10، وعلى سبيل المثال تمثل “2 هرتز” إلى “20 هرتز” عقداً واحداً بينما تمثل “50 هرتز” إلى “5000 هرتز” عقدين، أي من “50 هرتز” إلى “500 هرتز” ثم من “500 هرتز” إلى “5000 هرتز”.
أوكتاف هو مضاعفة الضرب في 2 أو النصف أي قسمة 2 على مقياس التردد، وعلى سبيل المثال ويمثل “10 هرتز” إلى “20 هرتز أوكتافاً واحداً”، بينما يمثل “2 هرتز” إلى “16 هرتز” ثلاثة أوكتافات أي من “2 هرتز” إلى “4 هرتز” ومن “4 هرتز” إلى “8 هرتز” ومن “8 هرتز” إلى “16 هرتز” ويضاعف التردد في كل مرة، وفي كلتا الحالتين تُستخدم المقاييس اللوغاريتمية على نطاق واسع في مجال التردد للإشارة إلى قيمة التردد عند العمل مع مكبرات الصوت والمرشحات لذلك من المهم فهمها.
مقياس التردد اللوغاريتمي في فلتر بتروورث
نظراً لأنّ المقاومات المحددة للتردد متساوية وكذلك مكثفات تحديد التردد يجب أيضاً أن يكون القطع أو تردد الزاوية “C” للمرشح الأول أو الثاني أو الثالث أو حتى الرابع متساوياً، ويتم العثور عليه بواسطة باستخدام المعادلة القديمة المألوفة وهي:
Fc = 1 / 2t
وكما هو الحال مع المرشحات من الدرجة الأولى والثانية يتم تشكيل مرشحات التمرير العالي من الرتبة الثالثة والرابعة، ببساطة عن طريق تبديل مواضع مكونات تحديد التردد أي المقاومات والمكثفات في مرشح تمرير منخفض مكافئ، كما يمكن تصميم المرشحات عالية الترتيب باتباع الإجراءات في مرشح “Low Pass” وكذلك مرشح “High Pass”، ومع ذلك فإنّ الكسب الإجمالي لمرشحات الرتبة العالية ثابت لأنّ جميع مكونات تحديد التردد متساوية.
التصفية التقريبية في فلتر “مرشح” بتروورث
سيعطي المرشح المثالي مواصفات الحد الأقصى لكسب نطاق التمرير والتسطيح والحد الأدنى من توهين نطاق التوقف وأيضاً نطاق تمرير شديد الانحدار لإيقاف تدحرج النطاق أي النطاق الانتقالي، وبالتالي إنّ عدداً كبيراً من استجابات الشبكة استيفاء هذه المتطلبات.
وليس من المستغرب وجود عدد من “وظائف التقريب” في تصميم المرشح التماثلي الخطي التي تستخدم نهجاً رياضياً لتقريب دالة النقل التي نحتاجها لتصميم المرشحات بشكل أفضل، وتُعرف هذه التصميمات باسم “Elliptical” و”Butterworth” و”Chebyshev” و”Bessel” و”Cauer” بالإضافة إلى العديد من التصميمات الأخرى.
ومن بين هذه التقريبات التماثلية الخطية الخمسة “الكلاسيكية” يعمل فقط مرشح “Butterworth” وخاصة تصميم مرشح “Butterworth” ذي التمرير المنخفض باعتباره الوظيفة الأكثر استخداماً.
كيفية تصميم مرشح بتروورث منخفض التمرير
غالباً ما يُشار أيضاً إلى استجابة التردد لوظيفة التقريب لمرشح “Butterworth” على أنّها استجابة مسطحة إلى أقصى حد بدون تموجات؛ لأنّ نطاق التمرير مصمم ليكون له استجابة تردد تكون مسطحة قدر الإمكان رياضياً من “0 هيرتز” هو “DC”، وحتى القطع تردد “-off” في “-3dB” مع عدم وجود تموجات كما تتدحرج الترددات الأعلى التي تتجاوز نقطة القطع إلى الصفر في نطاق التوقف عند “20 ديسيبل / عقد” أو “6 ديسيبل / أوكتاف”، وهذا لأنّه يحتوي على “عامل جودة” و”Q” يبلغ “0.707 فقط”.
ومع ذلك فإنّ أحد العيوب الرئيسية لمرشح “Butterworth” هو أنّه يحقق استواء نطاق المرور هذا على حساب نطاق انتقال عريض، حيث يتغير المرشح من نطاق التمرير إلى نطاق التوقف وكما أنّ لها خصائص طور رديئة أيضاً واستجابة التردد المثالية المشار إليها باسم مرشح “جدار من الطوب” وتقديرات بتروورث القياسية لأوامر الترشيح المختلفة.
استجابة التردد المثالية لفلتر بتروورث
إنّه كلما ارتفع ترتيب مرشح “Butterworth” زاد عدد المراحل المتتالية الموجودة داخل تصميم المرشح وكلما اقترب المرشح من الاستجابة المثالية “لجدار الطوب”، ومع ذلك من الناحية العملية فإنّ استجابة بترورث المثالية للتردد غير قابلة للتحقيق لأنّها تنتج تموجاً مفرطاً في نطاق التمرير.
عندما تكون المعادلة المعممة التي تمثل المرشح “nth” من ترتيب “Butterworth” تُعطى استجابة التردد على النحو التالي:
H (jω) = 1/(1+ ε2 (ω/ω2)2n) 1/2
حيث أنّ “n” تمثل ترتيب المرشح ز”Omega ω” يساوي “2πƒ” و”Epsilon” هو أقصى كسب لنطاق التمرير “Amax”، وحيث إذا تم تعريف “Amax” على تردد مساوٍ لنقطة الزاوية المقطوعة “-3dB لـ “(ƒc)” فإنّ “ε” ستكون عندئذٍ مساوية لواحد، وبالتالي ستكون “ε2” أيضاً واحدة.
ومع ذلك إذا كنت ترغب الآن في تحديد “Amax” بقيمة مختلفة لكسب الجهد زعلى سبيل المثال “1dB” أو “1.1220 (1dB = 20 * log Amax)”، فإنّ القيمة الجديدة لـ “epsilon” هي “ε”، وللمساعدة في تصميم مرشحات التمرير المنخفض الخاصة به أنتج بتروورث جداول قياسية ذات حدود منخفضة من الدرجة الثانية المعيارية مع مراعاة قيم المعامل الذي يتوافق مع تردد زاوية القطع بمقدار “1 راديان / ثانية”.
