حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

اقرأ في هذا المقال


معادلة القيمة المطلقة: هي المعادلة التي تحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري.

معادلات القيمة المطلقة

تذكر: القيمة المطلقة للمتغير \large x يمكن إعادة تعريفها على صورة اقتران متشعب: \large \left | x ight |=\begin{cases} -x & \text ,x< 0 \\ x & \text ,x\geq 0 \end{cases}

كما يمكن استخدام الحقيقة السابقة في حل المعادلة \large \left | x ight |=c حيث \large c> 0 ؛ إذ إنه يوجد للمتغير \large x قيمتان محتملتان: قيمة موجبة وهي \large c، وقيمة سالبة وهي \large -c، فإذا كان \large \left | x ight |=4 ، فإن \large x=4 ، أو \large x=-4، ففي الحالتين \large \left | x ight |=4 ويمكن تعميم هذه القاعدة لحل أي معادلة تحتوي على قيمة مطلقة في أحد طرفيها.

مثال: حل المعادلة \large \left | 4x-6 ight |=4

الحل: يمكن حل معادلة القيمة المطلقة بتمثيل المعادلتين:  \large y=\left | 4x-6 ight | ، وَ \large y=4 بيانياً في المستوى الإحداثي نفسه، ومنه نلاحظ أن منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما \large x=0.5 وعندما \large x=2.5، وهما حلا المعادلة، ويمكن التحقق من ذلك جبرياً.

الحل الجبري: من المعادلة الأصلية \large \left | 4x-6 ight |=4

أولاً: إعادة تعريف القيمة المطلقة \large 4x-6=4  أو  \large 4x-6=-4، ثانياً: بحل المعادلتين ينتج أن:\large 4x-6=4\Rightarrow 4x=10\Rightarrow x=\frac{10}{4}\Rightarrow x=2.5\large 4x-6=-4\Rightarrow 4x=2\Rightarrow x=\frac{2}{4}\Rightarrow x=0.5إذن، حلول هذه المعادلة: \large x=0.5,x=2.5

إذن، حل معادلات تحتوي قيمة مطلقة في أحد طرفي المعادلة، أما إذا كانت تحتوي قيمة مطلقة على طرفي المساواة مثل \large \left | A ight |=\left | B ight |، فإنه يوجد 4 حلول ممكنة لهذه المعادلة:

  • A=B
  • A=-B
  • A=B-
  • A=-B-

وبتطبيق خصائص المساواة، فإن المعادلتين (1) و (4) متكافئتين، وكذلك بالنسبة إلى المعادلتين (2) و (3)، ما يعني أن جميع الحلول يمكن إيجادها من المعادلتين (1) و (2).

مثال: حل المعادلة \large \left | 2x+4 ight |=\left | 3x+1 ight |

الحل: يمكن حل هذه المعادلة بتمثيل كل من \large y=\left | 2x+4 ight |\large y=\left | 3x+1 ight | في المستوى الإحداثي نفسه، ومنه نلاحظ أن منحنيي المعادلتين يتقاطعان عندما \large x=3 وعندما \large x=-1، ويمكن التحقق من ذلك جبرياً عن طريق حل المعادلتين الناتجتين عن الحالتين: \large A=B و \large A=-B

الحالة الأولى:   \large A=B\Rightarrow 2x+4=3x+1

\large 2x=3x-3\Rightarrow -x=-3\Rightarrow x=3

الحالة الثانية: \large A=-B\Rightarrow 2x+4=-\left ( 3x+1 ight )\Rightarrow 2x+4=-3x-1 \large 2x=-3x-5\Rightarrow 5x=-5\Rightarrow x=-1

إذن، لهذه المعادلة حلان، هما: \large x=3,x=-1 . ويمكن استخدام معادلات القيمة المطلقة في مواقف حياتية.

متباينات القيمة المطلقة

المتباينة جملة رياضية تحوي الرمز \large \geq ، أو \large \leq ، أو \large < ، أو \large > ، متباينة القيمة المطلقة: هي المتباينة التي تحتوي على قيمة مطلقة لمقدار جبري. ولحل متباينة قيمة مطلقة نستعمل المفاهيم الأساسية لحل معادلة القيمة المطلقة.

مثال: لحل المعادلة \large \left | x ight |=4 ، فإننا نبحث عن الأعداد جميعها التي تبعد عن الصفر بمقدار 4 ومنه، فإنه لحل المتباينة \large \left | x ight |\leq 4 فإننا نبحث عن الأعداد جميعها التي بعدها عن 0 أقل من 4 أو يساويها، ويمكن تمثيل مجموعة الحل باستخدام خط الأعداد. نلاحظ عند تمثيل مجموعة الحل باستخدام خط الأعداد أن مجموعة حل المتباينة \large \left | x ight |\leq 4 هي \large x\geq -4 و \large x\leq 4 ويمكن أيضاً التعبير عنها باستعمال المتباينة المركبة  \large -4\leq x\leq 4 أو بالفترة \large \left [ -4,4 ight ] .

قاعدة: متباينة القيمة المطلقة (أقل من)

إذا كان \large X يمثل مقداراً جبرياً وكان \large k  عدداً حقيقياً موجباً، فإن: \large \left | x ight |< k\Leftrightarrow -k< x< kوالقاعدة صحيحة أيضاً إذا كانت إشارة المتباينة \large \leq

مثال: حل المتباينة التالية: \large \left | 2x-3 ight |\leq 4

الحل: أولاً: إعادة كتابة المتباينة \large \left | 2x-3 ight |\leq 4\Rightarrow -4\leq 2x-3\leq 4 ، ثانياً: بحل المتباينة \large -4+3\leq 2x\leq 4+3\Rightarrow -1\leq 2x\leq 7\large \frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{7}{2}\Rightarrow -0.5\leq x\leq 3.5إذن، مجموعة الحل هي: \large \left [ -0.5,3.5 ight ]

لحل متباينة القيمة المطلقة (أكبر من) مثل المتباينة \large \left | x ight |> 4 فإننا نبحث عن الأعداد جميعها التي بعدها عن 0 أكبر من 4، وهي تمثل الأعداد الأقل من 4- أو الأعداد الأكبر من 4، ويمكن تمثيل مجموعة الحل على خط الأعداد. نلاحظ أنه يوجد مجموعتا حل منفصلتان، وعندها تكون مجموعة حل المتباينة \large \left | x ight |> 4 هي \large x> 4 أو \large x< -4 ويمكن أيضاً التعبير عنها باتحاد فترتين منفصلتين \large \left ( -\infty ,-4 ight )\cup \left ( 4,\infty ight ) .

قاعدة: متباينة القيمة المطلقة (أكبر من)

إذا كان \large X يمثل مقداراً جبرياً وكان \large k  عدداً حقيقياً موجباً، فإن:\large \left | X ight |> k\Leftrightarrow X< -k , X> kوالقاعدة صحيحة أيضاً إذا كانت إشارة المتباينة \large \geq .

مثال: حل المتباينة \large \left | 3x+5 ight |> 7

الحل: أولاً: إعادة كتابة المتباينة \large \left | 3x+5 ight |> 7\Leftrightarrow 3x+5< -7 , 3x+5> 7ثانياً: بحل المتباينات \large 3x< -12 \Rightarrow x=\frac{-12}{3}\Rightarrow x=-4\large 3x> 2\Rightarrow x=\frac{2}{3} إذن، مجموعة حل المتباينة هي: \large \left ( -\infty ,-4 ight )\cup \left ( \frac{2}{3},\infty ight )

يمكن أن تحتوي المتباينة قيمة مطلقة في طرفيها، عندئذ يمكن حلها باتباع الخطوات التالية:

  • مساواة المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة ببعضهما، وحل المعادلة الناتجة.
  • مساواة أحد المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة  بمعكوس المقدار الآخر، وحل المعادلة الناتجة.
  • اختيار عدد بين الحلين وتعويضه في المتباينة، فإذا كانت الجملة صحيحة تكون مجموعة حل المتباينة الأصلية هي مجموعة الأعداد الواقعة بين الحلين، وإلا كانت مجموعة الأعداد الواقعة خارج الحلين.

مثال: حل المتباينة \large \left | 2x+1 ight |> \left | 3x-2 ight |

الحل: الخطوة الأولى: مساواة المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة ببعضهما، وحل المعادلة الناتجة.

\large 2x+1=3x-2\Rightarrow 2x-3x=-2-1\large -x=-3\Rightarrow x=3الخطوة الثانية: مساواة أحد المقدارين داخل رمزي القيمة المطلقة  بمعكوس المقدار الآخر، وحل المعادلة الناتجة.

\large 2x+1=-(3x-2)\Rightarrow 2x+1=-3x+2\Rightarrow 2x+3x=-1+2              \large 5x=1\Rightarrow x=\frac{1}{5}الخطوة الثالثة: تحديد مجموعة الحل.

نختار عدداً بين الحلين وليكن \large x=2 ، ثم نعوضه في المتباينة \large \left | 2x+1 ight |> \left | 3x-2 ight | كالتالي: \large \left | 2(2)+1ight |> \left |3 (2)-2 ight |\Rightarrow \left | 5 ight |> \left | 4 ight |\Rightarrow 5> 4 بما أن العدد \large 2 حقق المتباينة؛ فإن مجموعة حل المتباينة تقع بين العددين \large \frac{1}{5} و \large 3

إذن، مجموعة حل المتباينة هي: \large \left ( \frac{1}{5} ,3ight )

المصدر: كتاب "أساسيات الرياضية البحته" للمؤلف "الدكتور ابراهيم عبد ربه"كتاب "الرياضيات للفضوليين" للمؤلف "بيتر إم هيجنز"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"كتاب "عجائب الحساب العقلي" للمؤلف "براديب كومار"


شارك المقالة: