تحويل فورييه: هو أداة تقسم شكل الموجة (وظيفة أو إشارة) إلى تمثيل بديل كما يتميز بالجيب وجيب التمام حيث يوضح تحويل فورييه أنّه يمكن إعادة كتابة أي شكل موجة كمجموع وظائف جيبية، ويتم استخدام تحويل فورييه في مجموعة واسعة من التطبيقات مثل تحليل الصور وتصفية الصور وإعادة بناء الصورة وضغط الصورة.
يُعد (Fourier Transform) أداة مهمة لمعالجة الصور بحيث تُستخدم لتحليل الصورة إلى مكونات الجيب وجيب التمام ويمثل ناتج التحويل الصورة في مجال فورييه أو مجال التردد، في حين أنّ صورة الإدخال هي مكافئ المجال المكاني وفي صورة مجال فورييه تمثل كل نقطة تردداً معيناً موجوداً في صورة المجال المكاني.
خصائص تحويل فورييه:
- الخطية (Linearity): تسمى إضافة وظيفتين تقابلان إضافة طيفين من الترددات الخطية وإذا ضربنا دالة في ثابت فإنّ تحويل فورييه للدالة الناتجة يتم ضربه بنفس الثابت كما أنّ تحويل فورييه لمجموع وظيفتين أو أكثر هو مجموع تحويلات فورييه للوظائف.
- تحجيم (Scaling): القياس هو الطريقة المستخدمة لتغيير نطاق المتغيرات المستقلة أو ميزات البيانات فإذا قمنا بتمديد دالة بواسطة العامل في المجال الزمني، فاضغط على تحويل فورييه بنفس العامل في مجال التردد.
- التفاضل (Differentiation): وظيفة التفاضل فيما يتعلق بالوقت ينتج عنها المضاعف الثابت للدالة الأولية.
- الالتفاف (Convolution): يتضمن ضرب وظيفتين وإنّ تحويل فورييه لالتفاف وظيفتين هو المنتج النقطي لتحويلات فورييه الخاصة بهما.
- تحول التردد (Frequency Shift): يتم تغيير التردد وفقاً للإحداثيات وهناك ازدواجية بين مجالات الوقت والتردد حيث يؤثر تحول التردد على إزاحة الوقت.
- تغير وقت زمني (Time Shift): يؤثر التحول المتغير الزمني أيضاً على وظيفة التردد وتستنتج خاصية إزاحة الوقت أنّ الإزاحة الخطية في الوقت المناسب تتوافق مع عامل الطور الخطي في مجال التردد.
أهمية نظريات فورييه وخصائصه:
إنّا نعيش في مجال الوقت، ومع ذلك في بعض الأحيان عرض إشارات المعلومات أو تشغيل النظام كدالة زمنية لا يوفر البصيرة بسهولة ومن أهمية إستخدام فورير:
- يحول تحويل فورييه إشارة أو تمثيل نظام إلى مجال التردد والذي يوفر طريقة أخرى لتصور الإشارة أو نظام ملائم للتحليل والتصميم.
- توفر خصائص تحويل فورييه رؤية قيمة في كيفية وصف عمليات الإشارة في المجال الزمني في مجال التردد.
يعد تحويل فورييه حجر زاوية رئيسي في التحليل والتمثيل ونشوئها من الإشارات والأنظمة الخطية الثابتة مع الزمن وأهميتها حيث أنّ الكثير من فائدته تنبع مباشرةً من خصائص تحويل فورييه، وقد تكون العديد من خصائص تحويل فورييه بأنّها مناور رياضي بسيط لتحليل تحويل فورييه ومعادلات التركيب، وتُعد خاصية الخطية وتحديداً حقيقة أنه بالنسبة لدوال الوقت ذات القيمة الحقيقية، فإنّ الجزء الحقيقي وحجم تحويل فورييه الحقيقي وظائف الوقت القيمة هي حتى وظائف التردد وكما أنّ المرحلة هي وظائف فردية للتردد بسبب هذه الخاصية التماثلية في عرض أو تحديد تحويل فورييه لوظيفة الوقت الحقيقي ومن الضروري عرض التحويل فقط من أجل القيم الإيجابية.
الخاصية المهمة الثانية هي خاصية مقياس الوقت والتردد وعلماً بأنّ التمدد الخطي أو الانكماش لمحور الوقت في وقت المجال له تأثير في مجال التردد لانكماش خطي أي توسيع- سيون، وبعبارة أخرى ينعكس القياس الخطي في الوقت المناسب في مقياس معكوس متكرر ومن المرجح أنّها مألوفة إلى حد ما هذه الخاصية من التحول في الترددات التي تتسب عندما نبطئ أو نسرع التسجيل على شريط، وبشكل عام هذا هو جانب واحد من مجموعة أوسع من القضايا المتعلقة بالمقايضات الهامة بين المجال الزمني ومجال التردد.
هذا في الواقع تم استغلال تحويل فورييه بشكل كبير في تحليل إشارة الوقت المنفصل والمعالجة حيث الحساب الصريح لتحويل فورييه ويلعب معكوسه دوراً مهمًا كما أنّ هناك العديد من الخصائص الهامة الأخرى لتحويل فورييه، مثل خاصية الإزاحة الزمنية والتأثيرات على تحويل فورييه للتمايز والتكامل في المجال الزمني ولتحديد خاصية تغيير الوقت حقيقة أنّ الإزاحة الخطية في الوقت المناسب يتوافق مع عامل الطور الخطي في مجال التردد.
والخاصيتان الرئيسيتان تشكلان الأساس لمجموعة واسعة من بروتوكولات الإشارة لأنظمة التوقف هي خصائص الالتفاف والتعديل أمّا بالنسبة الى خاصية الالتواء يقوم فورييه بتحويل الخرائط الالتفاف إلى متعدد الطوى وهذا يعني أن تحويل فورييه للالتفاف مرتين وظيفي هي ناتج تحويلات فورييه المقابلة لها وللأنظمة الخطية الثابتة زمنياً وهذا مفيد بشكل خاص لأنّه من خلال استخدام تحويل فورييه يمكننا تحديد الصعوبة مشكلة تقييم الالتفاف لعملية جبرية أبسط وهي عمليه الضرب.
إنّ خاصية الالتواء تسلط الضوء على أنّ تحليل الإشارة إلى مجموعة خطية من الأسي المعقدة الذي يفعله تحويل فورييه يمكننا من تفسير تأثير الوقت الخطي والنظام الثابت هو ببساطة قياس السعات (المعقدة) الأسي بواسطة عامل القياس الذي هو سمة من سمات النظام، وتعتبر هذه المواصفات من عوامل الحجم التي يطبقها النظام وهي في الواقع شكل استجابة للتحويل.
أمّا خاصية التعديل هي ثنائية خاصية الالتفاف فإنّ تحويل فورييه لمنتج دالتين زمنيتين هو يتناسب مع التفاف تحويلات فورييه وهذه الخاصية البسيطة توفر الأساس للفهم وتفسير تعديل السعة الذي يستخدم على نطاق واسع في أنظمة الكاتيون كما يوفر تعديل السعة أيضاً الأساس لأخذ العينات وهو الجسر الرئيسي بين إشارة الوقت المستمر وإشارة الوقت المنفصل المعالجة والأساس للعديد من أنظمة معالجة الإشارات الحديثة باستخدام التقنيات الرقمية وغيرها من تقنيات الوقت المنفصل.
فعلى سبيل المثال غالباً ما يكون من المرغوب هو تصميم إشارات ضيقة في الوقت المناسب وضيق في التردد بحيث تكون العلاقة بين مقياس الوقت والتردد هو أحد المؤشرات على أنّ هذه هي المتطلبات المتنافسة أي محاولة لجعل إشارة أضيق في الوقت المناسب عادةً ما يكون لها تأثير في التوسيع لتحويل فورييه.
وتُعد الازدواجية بين المجالات الزمنية والترددية مهمة أخرى في خاصية تحويل فورييه بحيث تتعلق هذه الخاصية بحقيقة أن تبدو المعادلة التجميعية متطابقتين تقريباً باستثناء الفرق بين علامة الطرح في الأس في التكامل، وإذا عرفنا تحويل فورييه لدالة زمنية محددة فيصبح من السهل أيضاً من معرفة تحويل فورييه لإشارة يكون شكلها الوظيفي نفس شكل تحويل فورييه للوقت وإحدى نتائج إذا كان هناك خوارزمية أو إجراء فعال وكفء لتنفيذ أو حساب تحويل فورييه للإشارة ثم بالضبط نفس الإجراء مع تعديل طفيف فقط يمكن استخدامها لتنفيذ معكوس تححويل فورييه.
إرشادات لاستخدام تحويل فورييه:
- يتم استخدام تحويل فورييه إذا أردنا الوصول إلى الخصائص الهندسية لصورة المجال المكاني ونظراً لأنّ الصورة في مجال فورييه تتحلل إلى مكوناتها الجيبية، فمن السهل فحص أو معالجة ترددات معينة للصورة وبالتالي التأثير على البنية الهندسية في المجال المكاني.
- في معظم عمليات التنفيذ يتم إزاحة صورة فورييه بحيث يتم عرض قيمة متوسط الصورة (DC) في وسط الصورة وكلما ابتعدت نقطة الصورة عن المركز زاد ترددها المقابل.
- يمكن أن نرى أنّ قيمة (DC) هي إلى حد بعيد أكبر مكون للصورة، ومع ذلك فإنّ النطاق الديناميكي لمعاملات فورييه أي قيم الكثافة في صورة فورييه كبير جداً بحيث لا يمكن عرضه على الشاشة لذلك تظهر جميع القيم الأخرى باللون الأسود وإذا طبقنا تحول لوغاريتمي على الصورة التي نحصل عليها تظهر النتيجة بأنّ الصورة تحتوي على مكونات من جميع الترددات، ولكن حجمها يصبح أصغر بالنسبة للترددات الأعلى.
وبالتالي تحتوي الترددات المنخفضة على معلومات صورة أكثر من الترددات الأعلى كما تخبرنا صورة التحويل أيضاً أنّ هناك اتجاهين مهيمنين في صورة فورييه أحدهما يمر عمودياً والآخر أفقياً عبر المركز بحيث تنشأ هذه من الأنماط العادية في خلفية الصورة الأصلية. - تُحدد قيمة كل نقطة مرحلة التردد المقابل ويمكننا تحديد الخطوط الرأسية والأفقية المقابلة للأنماط في الصورة الأصلية بحيث لا تعطي صورة الطور الكثير من المعلومات الجديدة حول بنية صورة المجال المكاني.
- تعتبر معلومات المرحلة حاسمة لإعادة بناء الصورة الصحيحة في المجال المكاني.
إنّ تحويل إشارة يمثل الإشارة في مجال مختلف وهو مجال متكرر يحول الوقت (Fn) إلى (Fn) (f)، لماذا نحتاج مثل هذا التحول؟ لأنّ هناك بعض المعلومات مخفية في المجال الزمني الذي يظهر في مجال التردد فعلى سبيل المثال (MP3 وJPEG) حبث أنّ هذه الخوارزميات تعتمد على تحويل إشارة المجال الزمني إلى إشارة مجال التردد وإجراء بعض العمليات على الأخيرة مثل حذف المكونات غير المهمة وإعادتها إلى المجال الزمني لتقليل حجمها دون التأثير عليها جودة.
يمكن تمثيل أي إشارة كمجموعة بيانات تستند إلى الوقت مثل سجل الفولتية المصنوع من عداد على فترات زمنية منتظمة ويكون شكل تسجيل إشارة جيبية منتظمة كأنّها تهبط وترتفع وتهبط بحيث تكون المساحة اللازمة لتسجيل هذه السلسلة اللانهائية من البيانات كبيرة جداً وأنّ الإشارة هي مجموعة بيانات 10 فولت من الذروة إلى الذروة تبلغ 0.01 تردد هرتز.
