الأعداد المركبة

ماهي الأعداد المركبة؟

يقصد بمفهوم الأعداد المركبة: بأنها عبارة عن الأعداد التي تتكون من كل من الأعداد الحقيقية والأعداد غير الحقيقة (التخيلية)، أما الأعداد غير الحقيقية فهي الأعداد التي يكون ناتجها قيمة سالبة عند عملية تربيعها، لذلك هي تختلف عن الأعداد الحقيقية التي يكون ناتج تربيع أي عدد منها قيمة موجبة، كما أن ناتج عملية تربيع أي عدد حقيقي سالب يكون موجب.

إن أي جزء من أجزاء الأعداد المركبة من الممكن أن يساوي العدد صفر، وبالتالي فإن كلا من الأعداد الحقيقية والأعداد غير حقيقية  تعتبر أعداد مركبة؛ وذلك يعني أن الأعداد الحقيقة هي عبارة عن أعداد مركبة تكون قيمة الفرع التخيلي يساوي صفر، في حين أن الأعداد التخيلية هي أعداد مركبة فيها الجزء الحقيقي يساوي صفر.

إلى جانب ذلك فإن التعبير عن العدد المركب أو المعقد ليس بالضرورة أن يعني أن العدد معقد فعلياً، وتتضمن صيغة الأعداد المركبة نوعين من الأعداد وهما : االأعداد الحقيقية والأعداد غير الحقيقية.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة:

يمكننا القيام بالكثير من التطبيقات الحسابية على الأعداد المركبة، وهنا سنتحدث بشكل مفصل:

جمع الأعداد المركبة:

عند القيام بعملية جمع عددين مركبين في البداية نقوم بجمع العددين التخيلين مع بعضهما، ونضع الناتج، ومن ثم نجمع العددان الحقيقيان مع بعضهما، بحيث يتم وضع الناتج ملاصقاً للناتج الأول.

ضرب الأعداد المركبة:

إن ناتج من عملية الضرب لعدد التخيلي مضروبا بعدد تخيلي غيره يكون ناتجها دائما عددا حقيقيا، فلذلك تعتبر عملية ضرب الأعداد المركبة شبيهة بعملية الضرب على الاقتران كثير الحدود.

قسمة الأعداد المركبة:

عند القيام بعميلة قسمة الأعداد المركبة فإنه يجب أن تحديد العدد المرافق للعدد المركب، والذي وهو نفس العدد المركب   معكوس للإشارة الموجودة في المنتصف.

تمثيل الأعداد المركبة بيانيا:

يمكن القيام بعملية تمثيل الأعداد المركبة بيانيا للقيام على رسمها على المستوى الإحداثي البياني ذي البعدين، ويتم ذلك  باستخدام المحورين السيني، والصادي، ويتم تمثيل القسم الذي يخص العدد التخيلي من العدد المركب على محور الصادات  والجزء الذي يخص العدد الحقيقي على محور السينات، لتتكون لدينا مجموعة من النقاط في نفس المستوى، وكل نقطة منها تشير إلى عدد مركب معين.

أهمية دراسة الأعداد المركبة:

تكمن أهمية الأعداد المركبة في أن لها الكثير من التطبيقات في حياتنا العملية، وتستخدم الأعداد المركبة بشكل كبير وواسع في الهندسة الكهربائية، وفي ميكانيكا الكم، وأيضا معرفة الأعداد المركبة يمكّننا من حل أي معادلة كثير حدود باختلاف أنوعها.

 خصائص الأعداد المركبة:

• إذا كان لدينا (س،ص) أعداداً حقيقية، وكان س+ص= 0؛ فإنّ س=0، ص=0.

• إذا كانت لدينا (س،ص،ع،ف) أعداداً حقيقية، وكان س+iص = ع+iف؛ فإنّ: س=ع، ص=ف.

• إذا فرضنا أن (س1، س2، س3) أعدادا مركبة؛ فيمكننا التعبير عن خاصيتي التوزيع والتجميع والخاصية التبادلية وخاصيتي التوزيع والتجميع كما يأتي:

1) (س1+س2) = (س2+س1) (الخاصيّة التبادلية للجمع).

2) (س1×س2) = (س2×س1) (الخاصيّة التبادلية للضرب).

3) (س1+س2)+س3 = (س2+س3)+س1 (الخاصيّة التجميعية للجمع).

4) (س1×س2)×س3 = (س2×س3)×س1 (الخاصيّة التجميعية للضرب).

5) س1×(س2+س3) = س1×س2+س1×س3 (خاصيّة توزيع الضرب على الجمع).

• الناتج من عملية جمع عدد مركب مع مرافقه: يتمثل برقم حقيقي، فإذا فرضنا أن (س+ iص) رقم مركب ومرافقه كان (س-iص)، فإن حاصل جمعهما معا هي: (س+ i.ص) + (س- i.ص) = 2.س؛ حيث س: يعتبر رقم حقيقي. حيث i: مجموعة الأعداد المركبة.

• ناتج عملية ضرب عدد مركب بمرافقه: هي عبارة عن رقم حقيقي، فإذا فرضنا أن (س+ i.ص) رقما مركبا وكان مرافقه (س- i.ص)، فإن حاصل ضربهما هي: (س+ i.ص)×(س- i.س) =س²-س.صi²+س.صi²-ص².i² = س²-ص²i.²، وبما أنّ: i²=-1 فإن حاصل الضرب هو: س²+ص² وكلاهما يعتبران رقمان حقيقيان.

•  يكون العددان مرافقان لبعضهما، وذلك عندما يكون ناتج جمع وضرب هذان العددين المركبين هو عدد حقيقي. إذا كان: س1، س2 عددين مركبين؛ حيث إن القيمة المطلقة لحاصل جمع هذين العددين تكون مساوية أو أقل من القيمة المطلقة للعدد س1، وذلك عندما يتم جمعهما مع القيمة المطلقة للعدد س2، أي أن: |س1+س2| ≤ |س1|+|س2|.

• يكون ناتج العمليات الأساسية (الجمع والطرح والضرب)عند تطبيقها على أي عددين مركبين عددا مركبا.

• يكون ناتج جمع العدد 0 إلى أي عدد مركب يساوي العدد نفسه؛ أي أن: (أ+ i.ب)+0= (أ+ i.ب).

• يكون ناتج عملية جمع  كل عدد مركب إلى معكوسة يساوي هنا العدد 0: س+(-س)= (أ+ i.ب) +- ((أ+ i.ب))= أ+ i.ب-أ-i.ب)=0.

• يكون ناتج ضرب العدد 1 مع أي عدد مركب يساوي العدد نفسة: 1×(س+ i.س)=(س+ i.ص).

•  عند عملية ضرب العدد المركب (س) بـ (1/س)، ينتج العدد 1؛ أي س×1/س = 1.

• من غير الممكن أن يتساوى عدد حقيقي مع عدد تخيلي.

• يتساوى لدينا العددين المركبين إذا كان الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كليهما متساويا؛ أي أن:(س+ i.ص) = (ع+ i.ف)، إذا كان: س=ع، ص=ف.