التكامل غير المحدود: هو الشكل العام للتكامل، ويعرف على أنه ايجاد المشتقة العكسة لاقتران، ويمكن تمثيلها برمز التكامل واقتران، ثم (dx) في النهاية، يتم التعبير عن التكاملات غير المحددة بدون حدود علوية وسفلية على التكامل، ويعتبر التكامل غير المحدد طريقة أسهل للاقتران على المشتق العكسي.
طرق التكامل في الرياضيات
هنالك طريقتين للتكامل مختلفة، ويمكن شرحها كما يلي:
التكامل بالتعويض
تسمى هذه العملية أيضاً بقاعدة السلسلة العكسية، وهي طريقة للعثور على تكامل، كما يتم إعداد الإقتران بطريقة خاصة، ففي بعض الأحيان يكون من الصعب إيجاد تكامل اقتران، وبالتالي يمكننا إيجاد التكامل من خلال افتراض متغير جديد، حيث تسمى هذه الطريقة التكامل بالتعويض، بحيث يمكن تحويل الشكل المعطى للإقتران المراد إجراء التكامل له، على سبيل المثال f (x)) ∫ إلى شكل آخر عن طريق تغيير المتغير (x) إلى (t).
استبدال x = g (t) في الإقتران f (x)∫.
dx/dt = g'(t)
dx = g'(t). dt
I = ∫f(x). dx = f(g(t)). g'(t). dt
التكامل بالأجزاء
إن التكامل حسب الأجزاء هو طريقة خاصة للتكامل غالبا ما تكون مفيدة عندما يتم ضرب اقترانين معاً، ولكنها مفيدة أيضا بطرق أخرى، يتطلب التكامل بالأجزاء تقنية خاصة لتكامل اقتران (يكون اقتران التكامل والاقتران مضاعف لاقترانين أو أكثر).
لنفترض أن اقتران التكامل هو f (x). g (x).
رياضياً حيث يمكن تمثيل التكامل بالأجزاء على النحو التالي:
∫f(x). g(x). dx = f(x). ∫g(x). dx–∫(f′(x). ∫g(x). dx
تكامل حاصل ضرب اقترانين = (الاقتران الأول × تكامل الإقتران الثاني) – تكامل [(اشتقاق الاقتران الأول) × تكامل الاقتران الثاني]
قواعد عامة في التكاملات
قاعدة الحد الثابت:
∫k dx=kx+C
حيث إن قاعدة الضرب بحد ثابت هي:
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
كما أن قاعدة الجمع والطرح:
∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
قاعدة الأسس:
∫x^n dx=(x^(n+1)/(n+1)) +C
