تساعدنا خصائص الأعداد على إجراء العمليات الحسابية بسرعة وسهولة. فمثلاً، يمكننا استعمال خصائص الأعداد التي يبينها المقال وهي عوامل العدد ومضاعفاته لتحديد عدد الباقات التي يمكن صنعها من 86 زهرة، بحيث تحتوي كل باقة على العدد نفسه من الزهور.
عوامل العدد
العامل: هو أحد الأعداد التي يقبل عدد ما القسمة عليه من دون باق. مثال: 3=6÷18 العدد 6 عامل للعدد 18، 2=9÷18 العدد 9 عامل للعدد 18، ويسمى العاملان اللذان ناتج ضربهما يعطي العدد، زوج عوامل العدد. ويمكن استعمال قواعد قابلية القسمة لإيجاد عوامل عدد.
مثال 1: استعمل قواعد قابلية القسمة لإيجاد عوامل العدد 12
الحل: العدد 12 يقبل القسمة على 2، وناتج القسمة هو 6، إذن: العددان 2 و 6 عاملان للعدد 12.
العدد 12 يقبل القسمة على 3، وناتج القسمة هو 4، إذن: العددان 3 و 4 عاملان للعدد 12.
إذن، عوامل العدد 12 هي (1 , 12)، (2 , 6)، (3 , 4) وهي تشكل ثلاثة أزواج، ناتج ضرب كل منها يساوي 12.
مثال 2: استعمل قواعد قابلية القسمة لإيجاد عوامل العدد 42.
الحل: العدد 42 يقبل القسمة على 2، وناتج القسمة 21، إذن: العددان 2 و 21 عوامل للعدد 42.
العدد 42 يقبل القسمة على 3، وناتج القسمة 14، إذن: العددان 3 و 14 عوامل للعدد 42.
العدد 42 يقبل القسمة على 6، وناتج القسمة 7، إذن: العددان 6 و 7 عوامل للعدد 42.
إذن عوامل العدد 42 هي (1 , 42)، (2 , 21)، (3 , 14)، (6 , 7) وهي تشكل أربعة أزواج، ناتج ضرب كل منها يساوي 42.
مثال 3: في نشاط لمادة العلوم، صمم طارق نموذجاً لمزرعة رباح، ويريد توزيع 70 مروحة بشكل متساوٍ في صفوف داخل النموذج. كم عدد الصفوف التي يمكن أن يرتب المراوح بشكل متساوٍ فيها؟ كم عدد المراوح في كل صف؟
الحل: لإيجاد العدد الممكن للصفوف، نجد عوامل العدد 70، ونستعمل قواعد قابلية القسمة لإيجادها.
العدد 70 يقبل القسمة على 2، وناتج القسمة هو 35، إذن: العددان 2 و 35 عاملان للعدد 70.
العدد 70 يقبل القسمة على 5، وناتج القسمة هو 14، إذن: العددان 5 و 14 عاملان للعدد 70.
العدد 70 يقبل القسمة على 10، وناتح القسمة هو 7، إذن: العددان 10 و 7 عاملان للعدد 70.
إذن، عوامل العدد 70 هي: (1 , 70)، (2 , 35)، (5 , 14)، (10 , 7) وهي تشكل 4 أزواج، ناتج ضرب كل منها 70.
وبالنظر إلى أزواج العوامل أعلاه، يمكن لطارق أن يرتب المراوح كما يأتي:
- صفان في كل منهما 35 مروحة، أو 35 صفاً في كل منها مروحتان.
- 5 صفوف في كل منها 14 مروحة، أو 14 صفاً في كل منها 5 مراوح.
- 7 صفوف في كل منها 10 مراوح، أو 10 صفوف في كل منها 7 مراوح.
مضاعفات العدد
مضاعف العدد: هو ناتج ضربه في أي عدد كلي ما عدا الصفر، فمثلاً 21 هو مضاعف للعدد 3 لأنه يساوي ناتج ضرب 3 في 7.
مثال 1:جد المضاعفات العشرة الأولى للعدد 6
الحل: 6=6×1، 12=6×2، 18=6×3، 24=6×4، 30=6×5، 36=6×6، 42=6×7، 48=6×8، 54=6×9، 60=6×10
إذن: المضاعفات العشرة الأولى للعدد 6، هي: 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60
مثال2:يظهر مذنب بيلا كل 7 أعوام تقريباً. كم عام يحتاج المذنب ليظهر 5 مرات؟ 6 مرات؟ 7 مرات؟
الحل: بما أن المذنب يظهر كل 7 أعوام، نستعمل مضاعفات العدد 7 لنجد عدد الأعوام التي يحتاجها ليظهر كل مرة.
35=7×5، 42=7×6، 49=7×7
إذن، يحتاج المذنب 35 عاماً ليظهر 5 مرات، و 42 عاماً ليظهر 6 مرات، و 49 عاماً ليظهر 7 مرات.
