اقرأ في هذا المقال
ما هو توزيع ماكسويل – بولتزمان؟
تم اشتقاق توزيع “ماكسويل – بولتزمان” للسرعات الجزيئية والكثافة أولاً في سبعينيات القرن التاسع عشر، ولكن كان من الصعب متابعة المشتقات وأدت إلى تنبؤات بالقدرات الحرارية للغازات التي لم تتفق مع التجربة. كانت الأنظمة التي تمت مناقشتها عبارة عن جزيئات أو مجموعات من الجزيئات التي يمكن أن تُنسب إليها طاقة محددة، أي ما يعادل مجموعة “جيبس” الدقيقة.
وقد أدى ذلك إلى حدوث مضاعفات عند التفكير في الغازات والسوائل الكثيفة على مدى الثلاثين عاماً التالية. من حيث المبدأ، يمكن إزالة هذه المضاعفات ببساطة من خلال التفكير في مجموعة من الأنظمة ذات درجة الحرارة الثابتة.
قانون توزيع “ماكسويل بولتزمان”، وهو وصف للتوزيع الإحصائي لطاقات جزيئات الغاز الكلاسيكي. تم تحديد هذا التوزيع لأول مرة بواسطة الفيزيائي الاسكتلندي “جيمس كليرك ماكسويل” في عام 1859م، على أساس الحجج الاحتمالية، وأعطى توزيع السرعات بين جزيئات الغاز. تم تعميم اكتشاف “ماكسويل” (1871م) بواسطة الفيزيائي الألماني “لودفيج بولتزمان”، للتعبير عن توزيع الطاقات بين الجزيئات.
شرح توزيع ماكسويل – بولتزمان:
جزيئات الهواء المحيطة بنا لا تسافر جميعها بنفس السرعة، حتى لو كان الهواء كله عند درجة حرارة واحدة. سوف تتحرك بعض جزيئات الهواء بسرعة كبيرة، وبعضها سيتحرك بسرعات معتدلة، وبعض جزيئات الهواء بالكاد تتحرك على الإطلاق. لهذا السبب، لا يمكننا طرح أسئلة مثل “ما سرعة جزيء الهواء في الغاز؟ لأنّ الجزيء في الغاز يمكن أن يكون له أي عدد من السرعات الممكنة.
توزيع ماكسويل – بولتزمان بيانيا:
لذا بدلاً من السؤال عن أي جزيء غاز معين، نطرح أسئلة مثل: ما هو توزيع السرعات في غاز عند درجة حرارة معينة؟، في منتصف إلى أواخر القرن التاسع عشر، توصل “جيمس كليرك ماكسويل” و”لودفيج بولتزمان” إلى الإجابة على هذا السؤال. يُشار إلى نتائجهما باسم “توزيع ماكسويل بولتزمان”، لأنّه يوضح كيفية توزيع سرعات الجزيئات للحصول على غاز مثالي. غالباً ما يتم تمثيل توزيع (Maxwell-Boltzmann) بالرسم البياني.
يمكن اعتبار المحور الصادي في الرسم البياني “لماكسويل بولتزمان” على أنّه يعطي عدد الجزيئات لكل وحدة سرعة. لذا، إذا كان الرسم البياني أعلى في منطقة معينة، فهذا يعني أنّ هناك المزيد من جزيئات الغاز تتحرك بهذه السرعات. لاحظ أنّ الرسم البياني غير متماثل. يوجد “ذيل” أطول على النهاية اليمنى عالية السرعة للرسم البياني. يستمر الرسم البياني إلى اليمين بسرعات كبيرة للغاية، ولكن على اليسار يجب أن ينتهي الرسم البياني عند الصفر (حيث لا يمكن أن يكون للجزيء سرعة أقل من الصفر).
ماذا تمثل المنطقة الواقعة تحت توزيع ماكسويل – بولتزمان في الرسم البياني؟
يعطي المحور (y) في الرسم البياني لتوزيع (Maxwell – Boltzmann) عدد الجزيئات لكل وحدة سرعة. إجمالي المساحة تحت المنحنى بأكمله يساوي العدد الإجمالي للجزيئات في الغاز. إذا قمنا بتسخين الغاز إلى درجة حرارة أعلى، فإنّ قمة الرسم البياني سوف تتحول إلى اليمين “لأنّ متوسط السرعة الجزيئية سيزداد”.
عندما يتحول الرسم البياني إلى اليمين، يجب أن ينخفض ارتفاع الرسم البياني من أجل الحفاظ على نفس المساحة الكلية أسفل المنحنى. وبالمثل، عندما يبرد الغاز إلى درجة حرارة منخفضة، تنتقل قمة الرسم البياني إلى اليسار. عندما يتحول الرسم البياني إلى اليسار، يجب أن يزداد ارتفاع الرسم البياني من أجل الحفاظ على نفس المنطقة أسفل المنحنى. يمكن ملاحظة ذلك في المنحنيات والتي تمثل عينة من الغاز (بكمية ثابتة من الجزيئات) عند درجات حرارة مختلفة.
عندما يصبح الغاز أكثر برودة، يصبح الرسم البياني أطول وأكثر ضيقاً. وبالمثل، كلما زادت سخونة الغاز، يصبح الرسم البياني أقصر وأوسع. هذا مطلوب للمنطقة الواقعة تحت المنحنى “أي العدد الإجمالي للجزيئات” لتبقى ثابتة. إذا دخلت الجزيئات في العينة، فإنّ المساحة الكلية تحت المنحنى ستزداد. وبالمثل، إذا غادرت الجزيئات العينة، فإنّ المساحة الكلية تحت المنحنى ستنخفض.
ماذا تعني سرعة الجذر التربيعي؟
قد تعتقد أن السرعة الواقعة أسفل قمة الرسم البياني “لماكسويل – بولتزمان” هي متوسط سرعة الجزيء في الغاز، لكن هذا ليس صحيحاً. السرعة الواقعة مباشرة تحت الذروة هي:
vp – وهي السرعة الأكثر احتمالاً.
نظراً لأنّها السرعة التي يُرجح العثور عليها للجزيء في الغاز.
السرعة المتوسطة (Vavg)، من جزيء في الغاز يقع في الواقع على يمين القمة قليلاً. يرجع سبب وقوع متوسط السرعة على يمين القمة إلى “الذيل” الأطول على الجانب الأيمن من الرسم البياني لتوزيع (Maxwell-Boltzmann). يسحب هذا الذيل الأطول متوسط السرعة قليلاً إلى يمين قمة الرسم البياني.
تُعرف كمية مفيدة أخرى باسم “سرعة الجذر التربيعي” (Vrms)، هذه الكمية مثيرة للاهتمام لأنّ التعريف مخفي في الاسم نفسه.
“الجذر التربيعي للسرعة هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات السرعات”.
يعني هو مجرد كلمة أخرى للمتوسط هنا. يمكننا كتابة سرعة الجذر التربيعي رياضياً على النحو التالي:
vrms = √ 1/N (V21 + V22 + V23 + …)
قد يبدو أن هذه التقنية لإيجاد القيمة المتوسطة معقدة بلا داع لأنّنا قمنا بتربيع جميع السرعات، فقط لنأخذ جذراً تربيعياً لاحقاً. قد تتساءل، “لماذا لا تأخذ متوسط السرعات فقط؟”، لكن تذكر أنّ السرعة متجه ولها اتجاه. متوسط سرعة جزيء الغاز هو صفر، نظرًا لوجود العديد من جزيئات الغاز في الاتجاه الصحيح (+ السرعة ) لأنّ هناك يساراً (- السرعة).
هذا هو السبب في أنّنا نربّع السرعات أولاً، ونجعلها جميعاً موجبة. وهذا يضمن أنّ أخذ المتوسط (أي القيمة المتوسطة) لن يعطينا صفراً. يستخدم الفيزيائيون هذه الحيلة غالباً للعثور على متوسط القيم على الكميات التي يمكن أن تأخذ قيماً موجبة وسالبة (مثل الجهدوالتيار في دائرة التيار المتردد).
