ما هي المعادلات التفاضلية؟

مفهوم المعادلات التفاضلية:

المعادلات التفاضلية: هي عبارة عن علاقة تجمع بين دالة واحدة أو أكثر من المشتقات، ومن الممكن تعريفها أيضاً بأنّها معادلات يكون فيها المتغير دالة، وفي أغلب التطبيقات تكون الدالة عبارة عن كميات مادية، وتقسم إلى قسمين: معادلات عادية وجزئية، ومعادلات خطية وغير خطية، تعتبر المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى بأنّها تحتوي على مشتقات أولى فقط.

أنواع المعادلات التفاضلية:

1- العادية والجزئية:

تقسم المعادلة التفاضلية العادية والجزئية إلى قسمين هما:

1. معادلات تفاضلية اعتيادية : هي التي تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد ومشتقات هذا المتغير.
   
2. معادلات تفاضلية جزئية : هي التي تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية.
   

2- الخطية وغير الخطية:

كل من المعادلات التفاضلية العادية والجزئية يمكن أن تصنف إلى خطية وغير خطية، وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين هما:

1. إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت، كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية، لأنّ الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسسغير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية. 
   
2. إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير المرفوعة لأسس، أي كلها من الدرجة الأولى، فيما عدا عن هذين الشرطين تكون المعادلة غير خطية.
   

طرق حل المعادلة التفاضلية:

طرق حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى:

• طريقة الفصل.
  
• طريقة التعويض.
  
• طريقة المعادلات الخطية.
  
• طريقة معادلة برنولي.
  

طرق حل المعادلات التفاضلية من الرتبة (ن) أعلى من الرتبة الأولى:

• طريقة اختزال الرتبة.
  
• طريقة تحديد المعادلات.
  
• طريقة مبادلة المتغيرات.
  
• طريقة كوشي، أويلر.
  
• طريقة المتتابعات الأسية مثل معادلات لابلاس.
  

الغرض من حل المعادلة التفاضلية:

الغرض من حل المعادلات التفاضلية هو إيجاد جميع الدوال التي يمكن أن تحقق المعادلة، ويرمز لهذه الدوال بالرمز y أو ص، ويتم إيجاد ما يسمّى بالحل العام للمعادلة، وهوعبارة عن مجموعة لكل الدوال التى تحقق المعادلة، ويكون كل عنصر فى هذه الدوال على حدى يمثل حل خاص للمعادلة التفاضلية، كما تبرز المعادلات التفاضلية وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية والإجتماعية والإقتصادية، بشكل كبير خاصة في تطبيقات الفيزياء والكيمياء، ثمّ القيام بإيجاد مشتقات هذه المعادلات بعد القيام بحلها رياضياً.