معادلة بواسون ولابلاس

ماهي معادلة بواسون:

يعد المجال المحتمل الكهربائي القياسي (V (r مفيدًا لعدد من الأسباب بما في ذلك القدرة على حساب الاختلافات المحتملة بسهولة، وعلى سبيل المثال، (V21 = V (r2) −V (r1)) والقدرة على التحديد بشكل ملائم المجال الكهربائي بأخذ التدرج (أي E = −∇V)، طريقة واحدة للحصول على (V (r من خلال التكامل على توزيع رسوم المصدر، وهذه الطريقة محرجة في وجود واجهات مادية، والتي تفرض شروطًا حدودية على الحلول التي يجب الوفاء بها في وقت واحد.

على سبيل المثال، يكون الجهد الكهربائي على سطح موصل تمامًا ثابتًا 1 – وهو قيد لا يؤخذ في الاعتبار في أي من التعبيرات الواردة ومع ذلك، تم تأسيس هذا في سياق الكهرومغناطيسي، حيث يتم تطوير نهج بديل لحساب (V (r، ويستوعب ذلك هذه الشروط الحدودية، وبالتالي يسهل تحليل المجال المحتمل القياسي في محيط الهياكل وخصائص المواد المتغيرة مكانيًا، إذ يعتمد هذا النهج البديل على معادلة بواسون، التي نشتقها الآن.

نبدأ بالصيغة التفاضلية لقانون غاوس ∇⋅D=ρv، باستخدام العلاقة D = ϵE، مع الأخذ في الاعتبار الافتراضات القياسية حول خصائص المواد، نحصل عليها ∇⋅E=ρvϵ، بعد ذلك نطبق العلاقة E=−∇V ∇⋅∇ ، V=−ρvϵ

هذه معادلة بواسون، ولكنها ليست بالشكل الذي تستخدم فيه بشكل شائع، وللحصول على النموذج البديل، نضع في الاعتبار عامل التشغيل ∇⋅∇ بالإحداثيات الديكارتية:

∇⋅∇ = [∂∂xx ^ + ∂∂yy ^ + ∂∂zz ^] ⋅ [∂∂xx ^ + ∂∂yy ^ + ∂∂zz ^] = ∂2∂x2 + ∂2∂y2 + 2∂z2 = ∇2
المشغل ∇⋅∇ هو بالمثل عامل لابلاسيان ∇2، علاوة على ذلك، هذا صحيح بغض النظر عن نظام الإحداثيات المستخدم وبالتالي، نحصل على الشكل التالي من معادلة بواسون:

²V=−ρvϵ∇

معادلة لابلاسيان:

تنص المعادلة على أن لابلاسيان في مجال الجهد الكهربائي يساوي كثافة شحنة الحجم مقسومة على السماحية، مع تغيير الاشارة.

إن معادلة بواسون هي معادلة تفاضلية جزئية، وبالتالي يمكن حلها باستخدام تقنيات معروفة تم وضعها بالفعل لمثل هذه المعادلات في الواقع، معادلة بواسون هي معادلة تفاضلية غير متجانسة، حيث يمثل الجزء غير المتجانس −ρv / مصدر المجال.

في ظل وجود بنية المادة، نحدد شروط الحدود ذات الصلة في الواجهات بين المواد، ومهمة إيجاد (V (r يتم اختزاله إلى المهمة الرياضية البحتة المتمثلة في حل مشكلة القيمة الحدية المرتبطة، وهذا النهج فعال بشكل خاص عندما تكون إحدى المواد موصلًا مثاليًا أو يمكن نمذجتها على أنها مادة.

هذا لأنه يجب أن يكون الجهد الكهربائي في جميع النقاط على سطح موصل مثالي متساويًا، مما ينتج عنه حالة حدية بسيطة بشكل خاص، وفي العديد من التطبيقات الأخرى، تقع الشحنة المسؤولة عن المجال الكهربائي خارج مجال المشكلة؛ على سبيل المثال لدينا مجال كهربائي غير صفري (وبالتالي، من المحتمل أن يكون الجهد الكهربائي غير صفري) في منطقة خالية من الشحن.

في هذه الحالة، تبسط معادلة بواسون إلى معادلة لابلاس:²V=0 ∇

معادلة لابلاس تنص على أن (Laplacian) في مجال الجهد الكهربائي يساوي صفرًا في منطقة خالية من المصدر، حيث مثل معادلة بواسون، كما يمكن استخدام معادلة لابلاس، جنبًا إلى جنب مع شروط الحدود ذات الصلة، لحل V (r)، ولكن فقط في المناطق التي لا تحتوي على شحنة.

استخدام معادلات لابلاس وبواسون:

تتمثل إحدى الطرق المفيدة في حساب الجهود الكهربائية في ربط هذه الإمكانية بكثافة الشحنة التي تؤدي إلى نشأتها، حيث يرتبط المجال الكهربائي بكثافة الشحنة بعلاقة التباعد، كما والمجال الكهربي مرتبط بالجهد الكهربائي بعلاقة انحدار، لذلك فإن الإمكانات مرتبطة بكثافة الشحنة بواسطة معادلة بواسون.

في هذه العملية الرياضية، تباعد تدرج الدالة تسمى (LaPlacian)، ويساعد التعبير عن (LaPlacian) في أنظمة إحداثيات مختلفة للاستفادة من تناظر توزيع الشحنة في حل الجهد الكهربائي V، فعلى سبيل المثال، إذا كان لتوزيع الشحنة تناظر كروي، يمكنك استخدام (LaPlacian) في الإحداثيات القطبية الكروية، ونظرًا لأن الإمكانات هي دالة عددية، فإن هذا النهج له مزايا مقارنة بمحاولة حساب المجال الكهربائي مباشرة، إذ بمجرد حساب الجهد، يمكن حساب المجال الكهربائي بأخذ تدرج الجهد.
إلى جانب ذلك فإنه عند إمكانية وجود مجال شحن موحد، سيتم استكشاف استخدام معادلات بواسون ولابلاس وذلك بهدف الحصول على مجال شحنة موحد، وفي الإحداثيات القطبية الكروية، تأخذ معادلة بواسون الشكل:a=Q/4πϵ₀=KQ