نظرية الشغل والطاقة للحركة الدورانية - Work-energy theorem for rotational motion

كيف يرتبط الشغل والطاقة بالحركة الدورانية؟

سوف نتحدث هنا عن الشغل والطاقة المرتبطة بالحركة الدورانية، لنفترض وجود عامل يستخدم حجر شحذ كهربائي مدفوعًا بمحرك، تتطاير الشرر، وتتولد ضوضاء واهتزازات حيث يتم تقليص طبقات من الفولاذ من العمود، يستمر الحجر في الدوران حتى بعد إيقاف تشغيل المحرك، ولكنّه يتوقف في النهاية عن طريق الاحتكاك، من الواضح أنّ المحرك كان يجب أن يعمل للحصول على الغزل الحجري، يذهب هذا الشغل إلى الحرارة والضوء والصوت والاهتزاز والطاقة الحركية الدورانية الكبيرة.

معادلة الشغل والطاقة المرتبطة بالحركة الدورانية:

يجب القيام بشغل لتدوير أشياء مثل أحجار الطحن أو جولات الدوامة، تمّ تعريف الشغل في الحركة الدورانية الموحدة والجاذبية للحركة متعدية، ويمكننا البناء على تلك المعرفة عند النظر في العمل المنجز في الحركة الدورانية، أبسط حالة دوران هي التي تمارس فيها القوة الكلية بشكل عمودي على نصف قطر القرص، وتبقى عمودية عندما يبدأ القرص في الدوران، القوة موازية للإزاحة، وبالتالي فإنّ صافي الشغل المنجز هو حاصل ضرب القوة في طول القوس المقطوع:

netW=(netF)Δs

للحصول على عزم الدوران والكميات الدورانية الأخرى في المعادلة، نقوم بضرب الجانب الأيمن من المعادلة وقسمته على (r)، ثمّ نجمع القيم:

netW=(rnetF)Δs/​r​​​​

نحن نعلم أنّ: (r net F = net F τ) و(Δs/r = θ)، لذلك تصبح المعادلة كالتالي:

netW=(netτ)θ

معادلة الشغل الدوراني:

هذه المعادلة هي تعبير عن الشغل الدوراني (rotational work)، إنّه مشابه جدًا للتعريف المألوف للشغل كقوة مضروبة في المسافة، هنا، عزم الدوران مماثل للقوة، والزاوية مماثلة للمسافة، المعادلة (net W = (net τ) θ)، صالحة بشكل عام، على الرغم من أنّها مشتقة لحالة خاصة، للحصول على تعبير عن الطاقة الحركية الدورانية، يجب علينا مرة أخرى إجراء بعض المعالجات الجبرية، الخطوة الأولى هي ملاحظة أنّ: (net τ = Iα)، لذلك يمكننا القول أنّ:

“يتشابه الشغل والطاقة في الحركة الدورانية تمامًا مع العمل والطاقة في الحركة الانتقالية، وقد تمّ تقديمهما لأول مرة في الحركة الدائرية الموحدة والجاذبية”.

حل معادلات الحركة الدورانية:

الآن، نحل إحدى معادلات الحركة الدورانية لـ (αθ)، نبدأ بالمعادلة التالية:

ω² = (ω₀)² + 2αθ

بعد ذلك، نحل قيمة (αθ)، كالتالي:

αθ=​ω²− (ω₀)²​​​/2​​

وباستبدال هذا في معادلة صافي الشغل، (net W) وتجميع عوائد القيم، يصبح لدينا الآتي:

netW=​½ ​​Iω²−​ ½ ​​I(ω₀)²

هذه المعادلة هي نظرية الشغل والطاقة للحركة الدورانية فقط، كما قد تتذكر، فإنّ صافي الشغل يغير الطاقة الحركية للنظام، من خلال القياس مع الحركة متعدية، نحدد القيمة (Iω²½)، لتكون طاقة حركية دورانية (KErot) لجسم لديه لحظة من القصور الذاتي (I) وسرعة زاويّة (ω):

KE​_rot​​ =​½​​ Iω²

إنّ التعبير عن الطاقة الحركية الدورانية هو مماثل تمامًا للطاقة الحركية الانتقالية، حيث (I) مشابه لـ (m) و(ω) مشابه ل (v)، الطاقة الحركية الدورانية لها تأثيرات مهمة.

تطبيقات الحركة الدورانية:

يمكن استخدام الحذافات، على سبيل المثال، لتخزين كميات كبيرة من الطاقة الحركية الدورانية في السيارة، طيارو طائرات الهليكوبتر على دراية تامة بالطاقة الحركية الدورانية، إنّهم يعرفون، على سبيل المثال، أنّه سيتم الوصول إلى نقطة اللاعودة إذا سمحوا لشفراتهم بالتباطؤ إلى ما دون السرعة الزاوية الحرجة أثناء الطيران، تفقد الشفرات قوة الرفع، ومن المستحيل جعل الشفرات تدور بسرعة كافية لاستعادتها.

يجب توفير طاقة الحركية الدورانية للشفرات لجعلها تدور بشكل أسرع، ولا يمكن توفير طاقة كافية في الوقت المناسب لتجنب الانهيار، نظرًا لقيود الوزن، فإنّ محركات طائرات الهليكوبتر صغيرة جدًا بحيث لا توفر كل من الطاقة اللازمة للرفع وتجديد الطاقة الحركية الدورانية للشفرات بمجرد إبطائها.

يتم وضع الطاقة الحركية الدورانية فيها قبل الإقلاع ويجب عدم السماح لها بالانخفاض إلى ما دون هذا المستوى الحاسم، تتمثل إحدى الطرق الممكنة لتجنب الاصطدام في استخدام طاقة الجاذبية الكامنة للطائرة المروحية لتجديد الطاقة الحركية الدورانية للشفرات عن طريق فقدان الارتفاع ومحاذاة الشفرات بحيث تدور المروحية في الهبوط، بالطبع، إذا كان ارتفاع المروحية منخفض جدًا، فلن يكون هناك وقت كافٍ لاستعادة الشفرة للرفع قبل الوصول إلى الأرض.

نستنتج ممّا سبق أنّ المروحيات تخزن كميات كبيرة من الطاقة الحركية الدورانية في شفراتها، يجب وضع هذه الطاقة في الشفرات قبل الإقلاع والحفاظ عليها حتى نهاية الرحلة، لا تمتلك المحركات طاقة كافية لتوفير الرفع في نفس الوقت ووضع طاقة دورانية كبيرة في الشفرات.