الرياضياتالعلوم

أنظمة المعادلات في حياتنا

اقرأ في هذا المقال:

تستخدم أنظمة المعادلات في كثير من مجالات الحياة، فخبراء الأرصاد الجوية مثلاً يعبرون عن العلاقة بين درجة الحرارة وسرعة الرياح والضغط الجوي ومعدل الهطل باستخدام نظام معادلات غير خطي؛ ذلك أنّ أي تغير في أحد هذه العوامل يؤدي إلى تغير في العوامل الأخرى.

 

أنظمة المعادلات

 

نظام من المعادلات مكون من معادلتين أو أكثر، تتكون المعادلات في النظام من معادلة خطية وأخرى تربيعية أو من معادلتين تربيعيتين. ومن أشهر أنظمة المعادلات هي:

 

  • حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية: يمكن حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية باستعمال طريقة التعويض، وذلك بكتابة أحد المتغيرين في المعادلة الخطية بدلالة الآخر، ثم تعويضه في المعادلة التربيعية وحلها.

فائدة: لأي نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية يكون له عبارة عن حلين أو حل واحد أو لا يوجد حل. ويمكن التعرف على ذلك من خلال رسم نظام المعادلات على نفس المستوى البياني؛ فإذا تقاطع منحنى المعادلتين في نقطتين يكون للنظام حلين، وإذا تقاطع منحنى المعادلتين في نقطة واحدة يكون للنظام حل واحد، وإذا لم يتقاطع منحنى المعادلتين يكون لا يوجد حل للنظام.

 

مثال للتوضيح: \bg_white \large x-y=1 ، \bg_white \large x^{2}+y^{2}=5 ، أولاً نكتب \bg_white \large y بدلالة \bg_white \large x من المعادلة الخطية كالتالي: \bg_white \large y=x-1 ونعوضها في المعادلة التربيعية. \bg_white \large x^{2}+y^{2}=5\Rightarrow x^{2}+\left ( x-1 \right )^{2}=5

\bg_white \large x^{2}+x^{2}-2x+1=5

\bg_white \large \left (2x^{2}-2x-4=0 \right )/2

\bg_white \large x^{2}-x-2=0

\bg_white \large \left ( x-2 \right )\left ( x+1 \right )=0

\bg_white \large x-2=0\Rightarrow x=2

\bg_white \large x+1=0\Rightarrow x=-1والآن نعوض قيم \bg_white \large x الناتجة في المعادلة الخطية لإيجاد قيم \bg_white \large y : \bg_white \large if x=2 , y=x-1\Rightarrow y=2-1\Rightarrow y=1  \bg_white \large if x=-1, y=x-1\Rightarrow y=-1-1\Rightarrow y=-2

إذاً مجموعة حل النظام هي \bg_white \large \left \{ \left ( 2,1 \right ),\left ( -1,-2 \right ) \right \}، نلاحظ في المثال أنه يوجد حلين للنظام.

لتمثيل أنظمة المعادلات، وحلها بيانياً يمكن استخدام برمجية جيوجبرا كالتالي: أولاً : نمثل المعادلة التربيعية. ثانياً: نمثل المعادلة الخطية، نلاحظ من التمثيل أن منحني المعادلتين يتقاطعان في نقطتين حيث \bg_white \large A=\left ( 2,1 \right ),B=\left ( -1,-2 \right ) ؛ مما يعني وجود حلين لنظام المعادلات.

 

 

 

  • حل نظام مكون من معادلتين تربيعيتين: لحل نظام يتكون من معادلتين تربيعيتين، نساوي أولاً المعادلتان بعضهما ببعض لتكوين معادلة تربيعية واحدة.

مثال للتوضيح: \bg_white \large y=x^{2}+4x-3 ، \bg_white \large y=-x^{2}+2x-3 : أولاً نساوي المعادلتين\bg_white \large x^{2}+4x-3=-x^{2}+2x-3ثانياً نجمع الحدود المتشابهة:  \bg_white \large x^{2}+x^{2}+4x-2x-3+3=0 \bg_white \large \left (2x^{2}+2x=0 \right )/2

\bg_white \large x^{2}+x=0\Rightarrow x\left ( x+1 \right )=0\Rightarrow x=0,x=-1

نعوض قيم \bg_white \large x الناتجة في أي من المعادلتين لإيجاد قيم \bg_white \large y : \bg_white \large y=x^{2}+4x-3 \bg_white \large if x=0\Rightarrow y=-3 ، \bg_white \large if x=-1\Rightarrow y=-6

إذاً مجموعة حل النظام هي: \bg_white \large \left \{ \left (0,-3 \right ) ,\left ( -1,-6 \right )\right \} .

 

لتمثيل النظام السابق بيانياً نستخدم برمجية جيوجبرا. نلاحظ من التمثيل أن منحني المعادلتين يتقاطعان في نقطتين حيث \bg_white \large A=\left ( 0,-3 \right ),B\left ( -1,-6 \right ) ،مما يعني وجود حلين لنظام المعادلات.

المصدر
كتاب "مبادىء الإحصاء" للمؤلف "الدكتور محمد سمير دركزنلي والدكنور عماد نظمي عطية"كتاب "الجبر المجرد" للمؤلف "ياسين عبد الواحد"كتاب "أساسيات الرياضة البحته" للمؤلف "الدكتور ابراهيم عبد ربه"

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى