تعد الأرقام الهندسية والمعروفة أيضًا باسم التسلسلات الهندسية أو التعاقب ، مفهومًا أساسيًا في الرياضيات يُظهر نمطًا معينًا من النمو. وهي مشتقة من ضرب قيمة ثابتة ، تسمى النسبة المشتركة (r) ، إلى الحد السابق في التسلسل. تميز هذه النسبة الثابتة الأرقام الهندسية عن الأرقام الحسابية ، حيث يظل الفرق بين المصطلحات المتتالية ثابتًا.
الأعداد الهندسية وعلاقتها بخاصية الجمع
- في التسلسل الهندسي ، يتم الحصول على كل حد بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة. على سبيل المثال ، في المتسلسلة 2 ، 6 ، 18 ، 54 ، النسبة العامة هي 3 لأن كل حد يساوي ثلاثة أضعاف الحد السابق. يمكن أيضًا التعبير عن الأرقام الهندسية في شكل معادلة صريحة ، حيث يتم إعطاء المصطلح n (a_n) بواسطة a_1 مضروبًا في النسبة المشتركة المرفوعة إلى قوة (n-1).
- لا تنطبق خاصية الإضافة الرياضية بشكل مباشر على الأرقام الهندسية. يتعلق الأمر بالأرقام الحسابية ، حيث ينتج عن إضافة قيمة ثابتة لكل مصطلح تسلسل جديد بنفس الاختلاف المشترك. ومع ذلك ، هناك علاقة مثيرة للاهتمام بين الأرقام الهندسية وخاصية الجمع الرياضية عند النظر في مجموع المصطلحات.
- يمكن حساب مجموع التسلسل الهندسي المحدود باستخدام الصيغة: S_n = a_1 * (1 – r ^ n) / (1 – r) ، حيث تمثل S_n مجموع المصطلحات n الأولى. توضح هذه الصيغة أن مجموع الأرقام الهندسية يعتمد على كل من النسبة المشتركة وعدد المصطلحات.
- علاوة على ذلك ، بأخذ الحد لأن عدد المصطلحات يقترب من اللانهاية (n -> infinity) ، يمكن تحديد مجموع التسلسل الهندسي اللانهائي. في هذه الحالة ، يوجد المجموع فقط إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة العامة (| r |) أقل من 1. عندما | r | <1 ، يتقارب المجموع إلى قيمة محدودة ، والتي تساوي a_1 / (1 – r).
وبالتالي فإن العلاقة بين الأرقام الهندسية وخاصية الإضافة الرياضية هي علاقة غير مباشرة. بينما لا تلتزم المتواليات الهندسية بخاصية الجمع على مستوى المصطلح الفردي ، يمكن حساب مجموع الأرقام الهندسية باستخدام صيغة تعتمد على الجمع والضرب. توفر هذه العلاقة فهماً أعمق لسلوك وخصائص التسلسلات الهندسية ، والتي تتجاوز حدودها الفردية.
