الأقواس والقطاعات الدائرية في الرياضيات

الأقواس والقطاعات الدائرية

القوس: هو جزء من دائرة محدد من نقطتين عليها.

القطاع: هو الجزء المحصور بين قوس من دائرة ونصفي القطرين اللذان يمران بطرفي القوس.

القطاع الدائري: هو جزء من القرص محاط بنصف قطر وقوس، بحيث أن القطاع يقسم الدائرة إلى منطقتين، هما القطاع الرئيسي والفرعي، بحيث تسمى المنطقة الأصغر بـ “القطاع الصغرى”، بينما تسمى المنطقة التي تحتوي على مساحة أكبر بـ “القطاع الرئيسي”.

كيفية حساب طول القوس في القطاع الدائري

يتم حساب طول القوس للقطاع الدائري، بحيث إذا كانت دائرة نصف قطرها (r)، ومركزها عند (O)، وزاوية القطاع هي (θ) “بالدرجات”، ومن خلال تحديد نسبة زاوية القطاع إلى الدورة الكاملة (360 درجة)، ممثلاً بالصيغة التالية:

l = (θ/360) × 2πr

كيفية حساب مساحة القطاع في الدائرة

يتم حساب مساحة قطاع إذا كانت دائرة نصف قطرها (r) ومركزها عند (O)، وزاوية القطاع هي (θ) “بالدرجات”، يتم تمثيل مساحة القطاع من خلال تحديد نسبة زاوية القطاع إلى الدورة الكاملة (360 درجة)، بحيث أن مساحة القطاع الدائرة الكاملة = (πr2) عندما تكون الزاوية (1 °)، وعندما تكون الزاوية (θ)، يتم تحديد مساحة القطاع بالمعادلة التالية:

A = (θ/360°) × πr^2

مثال على حساب طول القوس ومساحة القطاع

قم بحساب طول القوس ومساحة القطاع للقطاع الدائري في الشكل المرفق:

طول القوس:

l = (θ/360) × 2πr

l = (60/360) × 2π (12)

l = 4 Π 

مساحة القطاع:

l = (60/360) × 2π (12)

r = 12 cm

θ = 60°

A = (θ/360°) × πr^2

A = (60°/360°) × π( 12 ) ^2

A = 24 Π

كيفية حساب مساحة القطاع بالنسبة لطول القوس

إذا تم إعطاء طول قوس القطاع بدلاً من زاوية القطاع، فهناك طريقة مختلفة لحساب مساحة القطاع، إذا كان طول القوس يكون (I) بالنسبة إلى نصف قطر دائرة يساوي (r) من الوحدات، و(θ) هي الزاوية المقابلة للمركز، ومن ثم يمكن استنتاج أن قوسًا بطول (l)، سوف يقابل(l / r)، إذاً:

θ = l / r

حيث: (θ) بالتقدير الدائري.

عندما تكون زاوية القطاع (π2)، تكون مساحة القطاع “القطاع بأكمله”:

A = Π (r^2)

عندما تكون الزاوية (1)، فإن مساحة القطاع:

A = π(r^2)/2π = ( r^2) / 2

لذلك، عندما تكون الزاوية (θ)، تكون مساحة القطاع:

A = θ × (r^2/2)

A = (l/r) × (r^2/2)

إذاً مساحة القطاع بالنسبة لطول القوس يعطى بالعلاقة التالية:

A = (l r)/2