الأنظمة غير الخطية في ميكانيكا الكم

تستند أسس ميكانيكا الكم غير الخطية على ستة افتراضات، على المستوى الكمي الأول تم بناء هذه الأساليب على عوامل تفاضلية غير خطية ومعادلات قيمة ذاتية غير خطية ومفهوم المراقبات غير الخطية والحالات غير الخطية، وتتنبأ النظرية الحالية بأن حل الوظيفة غير الخطية لمعادلة تفاضلية جزئية غير خطية لجسيم حر صحيح، وأن عاكس مشغل الموضع ومشغل الزخم غير الخطي لا يتنقلان.

مفهوم الأنظمة غير الخطية

لا تعتبر ميكانيكا الكم نظرية خطية في جوهرها، وهذا هو جوهر ما يسميه البعض الطبيعة الموجية للمادة وما يميزها حقًا عن الميكانيكا الكلاسيكية، علم الميكانيكا غير الخطية هو مجال بحثي على الحدود بين الميكانيكا التطبيقية والرياضيات التطبيقية ويشمل الميكانيكا التحليلية والديناميكيات غير الخطية وديناميكيات الأجسام المتعددة والميكانيكا الإنشائية.

معادلة شرودنغر غير الخطية

معادلة شرودنغر اللاخطية هي معادلة تفاضلية جزئية غير خطية يتم استخدامها في ميكانيكا الكم والكلاسيكية، لكن المعادلة الخطية مثل معادلة الموجة هي خطية ومتجانسة، وهذا يعني أنه يمكن للمرء أن يأخذ مجموعات خطية من الحلول ذات المعاملات المعقدة للحصول على حلول جديدة، وهي حقيقة لها عواقب فيزيائية بعيدة المدى في ميكانيكا الكم.

في نظام المجال المتوسط أيضا تظهر المعادلة في دراسات موجات الجاذبية ذات السعة القليلة على سطح المياه العميقة غير الملموسة (اللزوجة الصفرية)، وفي موجات لانجموير في البلازما الساخنة ويكون انتشار حزم الموجات المنعرجة المستوية في مناطق التركيز في الأيونوسفير، كما ينتشر حلزون ألفا الحلزوني لدافيدوف المسؤولة عن نقل الطاقة على طول السلاسل الجزيئية وغيرها الكثير.

بشكل عام تبين أن (NLSE) كواحد من المعادلات العالمية التي تشرح تطور الحزم التي تتغير بشكل ضئيل جدا من الموجات شبه أحادية اللون في الوسائط غير الخطية الضعيفة التي تشتت، على عكس معادلة شرودنغر الخطية لا توضح (NLSE) أبدًا التطور الزمني للحالة الكمية، حيث أن (1D NLSE) هو مثال على نموذج قابل للتكامل.

في ميكانيكا الكم تظهر (NLSE) أحادي البعد سمة أخرى من مجال شرودنغر الكلاسيكي غير الخطي، والذي يعد حدًا كلاسيكيًا لمجال شرودنغر الكمومي، وبالعكس أيضا عندما يكون مجال شرودنغر الكلاسيكي مكمًما بشكل قانوني فإنه يكون عبارة عن نظرية مجال كمي، وهي خطية بينما يطلق عليها معادلة شرودنغر الكمومية غير الخطية التي تشرح جسيمات النقطة البوزونية مع تفاعلات دالة دلتا – الجسيمات إما تبتعد عن بعضها أو تقترب عندما تكون في نفس النقطة.

هل معادلة شرودنغر خطية لجميع الإمكانات

معادلة شرودنجر هي معادلة تفاضلية جزئية خطية تحكم الدالة الموجية لنظام ميكانيكي الكم، حيث إنها نتيجة رئيسية في ميكانيكا الكم وكان اكتشافها علامة بارزة في تطور الموضوع.

كيفية إنتاج غاز Bose من معادلة شرودنغر غير الخطية

• كيف يتم إنتاج بوز-آينشتاين: في فيزياء المواد المكثفة تكون مكثفات بوز-آينشتاين (BEC) حالة من المادة التي تتكون عادةً عندما يتم تبريد غاز من البوزونات بكثافات منخفضة جدًا إلى درجات حرارة قريبة جدًا من الصفر المطلق (273.15 درجة مئوية أو 459.67 درجة فهرنهايت.

ومن الأشياء المهمة في معادلة شرودنغر غير الخطية أنها تعمل على التقليل من تنافر القوة اللانهائية، وهنا يكون نموذج (Lieb – Liniger) هو  بحد ذاته غاز (Tonks (Girardea، ويطلق عليه غاز (Bose) ذو النواة الصلبة أو غاز (Bose) الذي لا يقدر على اختراقه.

في هذا الحد يمكن أن تتحول البوزونات عن طريق تغيير المتغيرات التي تعتبر تعميمًا مستمرًا لتحويل جوردان وينر إلى فرميونات غير متفاعلة أحادية البعد وغير متفاعلة.

يتم النظر في مشكلة انهيار الدالة الموجية مشكلة القياس في ميكانيكا الكم، حيث ثبت أنه يمكن حلها بناءً على ميكانيكا الكم ولا تتطلب أي افتراضات إضافية أو نظريات جديدة، وتلعب عمليات إنشاء الجسيمات وفنائها الموصوفة بناءً على نظرية المجال الكمي دورًا رئيسيًا في عمليات القياس.

مبدأ التراكب غير صالح لنظام معادلات نظرية المجال الكمومي للجسيمات والحقول؛ وذلك لأن هذا النظام غير خطي، ونتيجة لتكوين فناء الجسيم ينشأ عدم يقين إضافي، والذي يلطخ نمط التداخل، ويؤدي فرض مثل هذا العدد الكبير من عدم اليقين في القياسات المتكررة إلى السلوك الكلاسيكي للجسيمات.

تشير نظرية فك الترابط أيضًا إلى إنشاء الجسيمات وفنائها وهذه العمليات هي نتيجة لعدم خطية ميكانيكا الكم، وفي هذه الحالة يصبح مصطلح انهيار دالة الموجة نتيجة للعبارات الأخرى لميكانيكا الكم بدلاً من افتراض منفصل لميكانيكا الكم.

علاوة على ذلك يمكن تحديد دالة الموجة الضمنية لميكانيكا الكم الخطية بواسطة حل دالة موجية غير خطية لمعادلة تفاضلية جزئية غير خطية، والتي تتحقق أيضًا من ميكانيكا الكم غير الخطية.