التحويلات الهندسية للاقتران التربيعي

التحويلات الهندسية للاقتران التربيعي

التحويلات الهندسية للاقتران التربيعي: هو مصطلح في الرياضيات يعبر عن مفاهيم متعددة وهي الإنسحاب، والإنسحاب الأفقي والانسحاب الرأسي والتمدد، والإنعكاس على المعادلات التربيعية، إذ إن الإقتران الرئيس لعائلة الإقترانات التربيعية هو:

f(x) = x^2

الذي يأخذ منحناه شكل القطع المكافئ، كما في الرسم التالي، أما الاقترانات التربيعية الأخرى ناتجة عن تطبيق تحويل هندسي أو أكثر على منحنى الاقتران الرئيس، بحيث تغير هذه التحويلات الهندسية في موقع الاقتران الرئيس أو أبعاده.

1. الانسحاب

الانسحاب: هو إحدى التحويلات الهندسية التي تؤثر في موقع الاقتران الرئيس وتنقله إما إلى أعلى أو إلى أسفل أو إلى اليمين أو إلى اليسار دون التغيير على أبعاده، ويكون الانسحاب الرأسي عند إضافة الثابت الموجب (k) إلى قاعدة الإقتران الرئيس أو طرحه منها فإن منحنى الاقتران يكون مزاحاً إلى أعلى أو إلى أسفل بمقدار ذلك الثابت:

f (x)± k

أما الإنسحاب الأفقي فيكون عند إضافة قيم الثابت الموجب (h) إلى جميع قيم (x) أو طرحه منها فإن منحنى الإقتران يكون مزاحاً إلى اليمين أو اليسار في مقدار ذلك الثابت:

f ( x±h )

يمثل التمثيل البياني التالي الإنسحاب الرأسي لمنحنى الإقتران التربيعي مزاحاً إلى الأعلى أو  إلى الأسفل:

يمثل التمثيل البياني التالي الإنسحاب الأفقي لمنحنى الإقتران التربيعي مزاحاً إلى اليمين أو إلى اليسار:

2. التمدد

التمدد: هو تحويل هندسي يؤدي إلى توسيع منحنى الإقتران أو تضييقه عند ضرب الإقتران الرئيس f(x) بالثابت (a) فإن (a f (x)) هو توسيع أو تضييق لمنحنى الإقتران f(x)، أي أنه اذا كان:

f (x) =x^2

وكان (a) عددًا حقيقيًا موجبًا أن منحنى (h(x)=ax^2) هو:

• توسيع رأسي إذا كانت (a > 1) بمعامل مقداره (a) لمنحنى الإقتران.

• تضييق رأسي إذا كانت (a > 0 and a < 1) معامل مقداره (a) لمنحنى الإقتران.

3. الانعكاس

الإنعكاس: هو تحويل هندسي يعكس منحنى الإقتران حول مستقيم محدد، إذا كان:

h (x)= -f (x)

فيكون الإنعكاس لمنحنى f(x) حول المحور (x)، أما إذا كان:

h (x) = f (-x)

فإن الإنعكاس لمنحنى f(x) حول المحور (y)، إذ إن انعكاس الإقتران لا يعطي الإقتران نفسه.

مثال على التحويلات الهندسية للاقتران التربيعي

إذا كان منحنى الاقتران (h (x نتيجة عن انعكاس الاقتران الرئيس حول المحور (x)، ثم توسيع رأسي بمعامل مقداره (4)، وانسحاب إلى اليمين بمقدار (5) وحدات، ثم انسحاب للأسفل بمقدار (3) وحدات فأوجد ما يلي:

• قاعدة الإقتران h(x) باستعمال صيغة الرأس.

• إحداثيي رأس القطع، ومعادلة محور التماثل، والقيمة العظمى.

الحل

• بما أن الانعكاس حول المحور (x)، ومعامل التوسيع الرأسي مقداره (4) فإن (a=-4).

• وبما أن الإنسحاب الأفقي إلى اليمين مقداره (5) وحدات فإن (h=5).

• وبما أن الانسحاب الرأسي إلى الأسفل بمقدار (3) وحدات فإن (k=-3).

• وبالتالي؛ فإن صيغة الرأس للاقتران التربيعي هي:

  h(x)=a(x-h)^2 +k

وبالتعويض فيها فإن قاعدة الإقتران تكون:

3-+h(x)=-4(x-5)^2

ولايجاد احداثيي رأس القطع، ومعادلة محور التماثل، والقيمة العظمى أو الصغرى للإقتران:

• حساب قاعدة الإقتران، حيث أن رأس القطع هو (3 – ,5).

• معادلة محور التماثل (x=5).

• القيمة العظمى هي (3).

كيفية كتابة التحويل الهندسي للاقتران التربيعي

تسمى الصيغة:

f(x) = a(x-h)^2 + k

صيغة الرأس للإقتران التربيعي، حيث:

• (a) لا تساوي صفر.

• (h,k) هو رأس القطع المكافئ.

ويمكن استعمالها في كتابه قاعدة الاقتران التربيعي الناتج من تحويل هندسي أو أكثر على الاقتران التربيعي الرئيس بحيث يمثل (h) الإنسحاب الأفقي، ويمثل (k) الانسحاب الرأسي، ويمثل (a) الانعكاس والتمدد الرأسي، وسميت هذه الصيغة بـ “صيغة الرأس” لأنه يمكن تحديد الرأس منها بسهولة.

تطبيقات التحويلات الهندسية في الحياة العملية

التحويل الأيزومتري: هو مصطلح علمي في الرياضيات ويعني تحويل متساوي القياس، وهو تحويل أو نسخ لنقاط المستوى بحفظ المسافات بين النقاط.

تعد التحويلات الهندسية مثل: الإنعكاس، والإزاحة والدوران أمثلة على التحويلات الأيزومترية ( متساوية القياس في المستوى)، أي أن هذه التحويلات الهندسية تعبر بشكل حدسي عن حركة لنقاط المستوى، في هذه التحويلات تحفظ الأبعاد، ولذلك كل قطعة تنسخ إلى قطعة تساويها في الطول، أي أن هذه الأشكال المحوّلة لا تتغير لا بالشكل ولا بالحجم.

أمثلة على مجالات التحويلات الهندسية في الحياة اليومية والعملية

• في مجال تصميم الجرافيك للجيل الحديث حيث أن التصميمات الحديثة تحتاج للتحويلات الهندسية.

• تصميم الرسوم المتحركة.

• التصميمات ثلاثية الأبعاد.

• التحويلات الهندسية للإزاحة في علم الفيزياء تساعد في معرفة السرعة للأجسام والذي يساعد على اختراع العديد من الآلات والأجهزة المفيدة.