معنى الترتيب في علم الرياضيات:
إذا اردنا ترتيب الحروف الثلاث “س ، ص ، ع” فيكون ذلك بأحد الترتيبات التالية: (س ص ع، ص س ع، ص ع س،س ع ص، ع س ص، ع ص س)، حيث يجب الملاحظة أن كل ترتيب منها يختف عن الآخر بشكلٍ كامل على الرغم من أن كل الترتيب يتكون من نفس الأحرف الثلاثة، والاختلاف هنا راجع إلى أن ترتيب الأحرف في كل منها يختلف عن الآخر، حيث يتم إيجاد أن:
الحرف الأول (س) يمكن أن يكون على يمين الحرفين الآخرين أو وسطهما أو على يسارهما، وهذا يعني أن (س) يمكن أن تُرتب بطرق عددها (ثلاث طرق)، فإذا ثبتت أو استقرت (س) في وضعٍ ما فإن الحرفان الآخران يمكن أن يُثبت أحدهما، وليكن (ص) في الوضعين الآخرين أي أن (ص) يمكن أن يُرتب بطرق عددها (طريقتان)، فإذا ما ثُبت كل من (س، ص) في وضعيهما معاً، فإنه لا يتبقى إلاّ وضع واحد يمكن أن يثُبت فيه الحرف الثالث (ع)، وهذا يعني أن (ع) يمكن أن تُرتب (بطريقة واحدة).
ومما تقدم يمكن أن يتم تحديد طرق ترتيب الحروف الثلاثة (س، ص، ع) معاً بطريقة عددها = 3 × 2 × 1 = 6 طرق (وهي نفس عدد الطرق التجريبية التي تمت أعلاه).
مثال على الترتيب بفرض أنه يوجد “4” كتب وأردنا ترتيب “3” منها على منضدة فما هي عدد التراتيب المختلفة لذالك.
الحل:
- بفرض أن الكتب الأربعة هي (س، ص، ع، ء)، والأماكن على المنضدة هي (الأول، الثاني، الثالث).
- يمكن أن يتم اختيار أحد الكتب الأربعة لوضعها في المكان الأول، أي أن عدد طرق شغل المكان الأول = (4 طرق)
- إذا تم شغل المكان الأول بكتاب من الأربع كتب السابقة وليكن (س) مثلاً، فإن المكان الثاني يمكن شغله بطرق عددها (ثلاث طرق).
- إذا تم شغل المكانين الأول والثاني بكتابين من الأربع الكتب وليكن س، ص فإنه يتبقى مكان واحد خالي يمكن شغله بأحد الكتابين الباقين وهما (ع، ء) أي أن عدد طرق شغل المكان الثالث (طريقتين).
- من كل ما تقدم فإنه يتم إستنتاج أن عدد التراتيب المختلفة لشغل الأماكن الثلاثة بثلاث كتب من أربعة هي:
4 × 3 × 3 = 24 ترتيب.
وبالطبع كان من الصعوبة الوصول لعدد التراتيب السابقة بطريقة التجريب كما هو في المثال الأول ولكن وفقاً للقاعدة التالية:
إذا تمت عملية ما على مراحل (وليكن ثلاثة مثلاً) حيث تمت في المرحلة الأولى بطرق عددها (ل) وفي المرحلة الثانية بطرق عددها (م) وفي المرحلة الثالثة بطرق عددها (ن)، فإن العملية كلها تتم بطرق تراتيب عددها (ل × م × ن) طريقة.
