التكاملات المحددة في الرياضيات

التكامل: يمكن تعريف التكامل في الرياضيات أنه عملية إيجاد مساحة المنطقة تحت المنحنى، ويتم ذلك عملياً عن طريق رسم أكبر عدد ممكن من المستطيلات الصغيرة التي تغطي المنطقة.

مفهوم التكاملات المحددة

التكامل المحدد: يحتوي التكامل المحدد على قيم البداية والنهاية (حدود التكامل)، بمعنى آخر هناك فترة محدودة لقيم المتغير السيني [a,b ]، يتم وضع هذه الحدود (a) و (b) في أسفل وأعلى إشارة التكامل (∫)، بحيث نقوم بايجاد التكامل المحدد عن طريق حساب التكامل غير المحدد، ثم تعويض قيم حدود التكامل عند (a)، وعند (b)، ثم ايجاد ناتج الطرح لتعويض الحدين.

يمكننا استخدام التكاملات المحددة لإيجاد المساحة أسفل المنحنيات أو فوقها أو بينها في حساب التفاضل والتكامل، ويمكن أن تكون قيمة التكامل المحدد سالبة أو موجبة أو صفرية، فإذا كانت الإقتران موجب، فإن المساحة الواقعة بين منحنى الاقتران والمحور السيني تساوي التكامل المحدد للاقتران في الفترة الزمنية المحددة، في حالة كان الاقتران سالباً، ستكون المنطقة أضعاف التكامل المحدد، ويمكن استخدام التكامل للعثور على المناطق والأحجام والنقاط المركزية والعديد من الاستخدامات الأخرى المفيدة.

مثال (1):

2
∫ 2x dx
1

الحل: نقوم بايجاد التكامل المحدد من (1) إلى (2).

باستخدام قواعد التكامل نجد أن:

∫2x dx = x² + C

 x=1 عند

∫2x dx = 1² + C

x=2 عند

∫2x dx = 2² + C

= (2² + C) − (1² + C)

=4 + C − 1 − C

= 3

من المعتاد إظهار التكامل غير المحدد (بدون + C) داخل أقواس مربعة، مع النهايات (a) و (b) بعد، مثل هذا:

2                    2
∫ 2x dx = [ x^2]
1                   1

= 2² − 1²

= 3

مثال (2): أوجد ناتج التكامل التالي.

1
∫ cos(x) dx
0.5

الحل: التكامل المحدد، من (0.5) إلى (1.0) ، للإقتران cos (x) dx،يجب أن يكون (x) بالراديان.

∫cos(x) dx = sin(x) + C

يمكننا تجاهل الحد الثابت (C) للتكاملات المحددة كما يلي:

1                           1
∫ cos(x) dx= [ sin(x)]
0.5                      0.5

= sin (1) − sin (0.5)

= 0.841… − 0.479…

= 0.362…