التوافيق

ما هي التوفيق؟

التوافيق (Combinations): تُعرف التوافيق بأنها عدد الطرق التي يتم فيها اختيار مجموعة من الأشياء بأخذها كلها أو بعضها بغض النظر عن التراتيب.
فإذا كان يوجد (ن) من الأشياء ويراد إختيار (ر) في كل مرة بغض النظر عن الترتيب فيطلق على ذلك التوافيق ويرمز لها بالرمز (^ن ق _ر):
ومن هذا التعريف يمكن استنتاج أن عدد التوافيق لحالةٍ ما تكون أقل من عدد التباديل لنفس الحالة.
فمثلاً إذا كان هناك مجموعة من الأشياء مكونة من (س ،ص، ع، هـ) ويراد إيجاد ما يلي:
أولاً: عدد طرق اختيار إثنين منها في كل مرة مع أخذ عدد التراتيب في الاعتبار.
ثانياً: عدد طرق اختيار إثنين منها في كل مرة دون أخذ عدد التراتيب في الاعتبار.
فإن:
ن = 4، ر = 2
ففي الحالة الأولى تكون عبارة عن:
⁴  ل ₂= 4 × 3 = 12 طريقة
وهي بالتجريب: س ص، س ع، ع س، س هـ، هـ س، ص ع، ع ص، ص هـ، هـ ص، ع هـ، هـ ع.
لكن في الحالة الثانية:
س ص، س ع، س هـ، ص ع، ص هـ، ع هـ
أي عدد طرق الاختيار (دون أخذ التراتيب في الاعتبار) ويتم الرمز له بالرمز:
⁴  ق ₂ = 6 طرق فقط.
ومن الواضح أن عدد طرق الاختيار في التوافيق كما في الحالة الثانية تبلغ نصف عدد طرق الاختيار في التباديل كما في الحالة الأولى، ويرجع ذلك إلى أنه في التباديل في حال تم اختيار (س ص، ص س) فتُعتبر طريقتين في الاختيار أي تبديلين مختلفين، لكن في التوافيق فإن طرق الاختيار للإثنين (س ص) هي طريقة واحدة أي توافيق واحد لأن (س ص أو ص س) تعتبر طريقة واحدة للاختيار لأنه لا يتم أخذ التراتيب في الاعتبار، وهكذا بالنسبة للبقية.
ويمكن الوصول إلى التوافيق (عدد طرق الاختيار بغض النظر عن الترتيب) باستخدام التباديل فقاً لما يلي:

وذلك يعني أنه لمعرفة عدد التوافيق لـ (ن) من الأشياء مأخوذه “ر” في كل مرة (حيث ر < ن) فإن:

ومنها نستنتج أن:
^ن ل _ر = ^ن ق _ر × ⌊ر
أي أن:
عدد التباديل = عدد التوافيق × عدد التباديل الممكنة لمكونات كل مجموعة (ر) مأخوذة كلها.