الرياضياتالعلوم

الحدود والمقادير الجبرية

يمكن التعبير عن أي قيمة مجهولة باستخدام متغير، ويرمز للمتغير بأحد الأحرف مثل:\bg_white \large x, y,t,n. يتكون الحد الجبري من متغير أو أكثر مضروب بعدد يسمى المعامل. فمثلاً: \bg_white \large 6x حد جبري معامله 6 ومتغيره \bg_white \large x، ويسمى العدد حداً ثابتاً لأنه يتكون من عدد ثابت من دون متغيرات.

 

الحدود والمقادير الجبرية

 

الحدود الجبرية: هي عبارة عن حاصل ضرب متغير أو أكثر بعدد، وتعرف درجة الحد الجبري من مجموع أسس عوامله الرمزية أي المتغيرات.

 

المقادير الجبرية: هي عبارة عن مجموعة من الحدود الجبرية والثابتة تفصل بينها إشارات جمع أو طرح، وتعرف درجة المقدار الجبري بأعلى درجة للحدود المكونة له.

 

أمثلة على حدود جبرية ومقادير جبرية: \bg_white \large 5x حد جبري لأنه يحتوي على المتغير \bg_white \large x ومعامله 6، \bg_white \large 3x^{2}-2x+1 مقدار جبري لأنه يتكون من ثلاثة حدود .

 

ويمكن التعبير عن كثير من المواقف الحياتية التي تحتوي على قيم مجهولة باستخدام مقادير جبرية، ولحساب قيمة مقدار جبري نستبدل القيمة العددية للمتغيرات ثم نجري العمليات بحسب الأولويات.

 

مثال للتوضيح: \bg_white \large x^{2}-\left ( 8+x \right ), x=5

\bg_white \large 5^{2}-\left ( 8+5 \right )\Rightarrow 5^{2}-13\Rightarrow 25-13=12

 

العمليات الجبرية على المقادير الجبرية

 

  • لجمع المقادير الجبرية فإننا نجمع أو نطرح المعاملات العددية للمتغيرات ذات الأسس المتشابهة فقط.

 

  • لضرب المقادير الجبرية بعدد ثابت فإننا نقوم بضرب العدد الثابت بكل حد من حدود المقدار الجبري.

 

  • لضرب وقسمة المقادير الجبرية بعضها في بعض فإننا نقوم باستخدام قوانين الأسس.

 

تذكر: إذا كان \bg_white \large x عدد حقيقي وكان \bg_white \large m عدد طبيعي فإن \bg_white \large x^{m}=\left ( x \right )\left ( x \right )\left ( x \right ).....\left ( x \right ) حيث \bg_white \large x يسمى الأساس و \bg_white \large m يسمى الأس.

 

قوانين الأسس: لكل عدد حقيقي \bg_white \large a,b وعدد نسبي \bg_white \large n,m فإن:

 

  •  عند ضرب أعداد متساوية نجمع الأسس \bg_white \large a^{n}\times a^{m}=a^{n+m} ، مثال: \bg_white \large 2^{3}\times 2^{2}=2^{3+2}=2^{5}

 

  • عند قسمة أعداد متساوية الأساس نطرح الأسس \bg_white \large \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m};a\neq 0 ، مثال: \bg_white \large \frac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}=2^{2}

 

  • عند رفع عدد لأكثر من قوة نضرب تلك القوى في بعضها \bg_white \large \left (a^{n} \right )^{m}=a^{n\times m} ، مثال: \bg_white \large \left (2^{2} \right )^{3}=2^{2\times 3}=2^{6}

 

  • تتوزع القوى في عملية الضرب \bg_white \large \left (a\times b \right )^{n}=a^{n}\times b^{n} ، مثال: \bg_white \large \left (2\times 3 \right )^{3}=2^{3}\times 3^{3}

 

  • تتوزع القوى في عملية القسمة \bg_white \large \left (\frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}};b\neq 0 ، مثال: \bg_white \large \left (\frac{2}{3} \right )^{3}=\frac{2^{3}}{3^{3}}

 

  • القوى السالبة لعدد صحيح (تحول العدد الى مقام وتصبح القوة موجبة) \bg_white \large a^{-n}=\frac{1}{a^{n}};a\neq 0 ، مثال: \bg_white \large 2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}

 

  • القوى السالبة لعدد نسبي (يقلب الكسر وتصبح القوة موجبة) \bg_white \large \left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^{^{n}} ، مثال: \bg_white \large \left (\frac{2}{3} \right )^{-4}=\left (\frac{3}{2} \right )^{4}

 

  • القوة الصفرية دائماً تساوي الواحد \bg_white \large a^{0}=1;a\neq 0 ، مثال: \bg_white \large 2^{0}=1

 

جمع المقادير الجبرية وطرحها

 

الحدود الجبرية المتشابهة: هي حدود تحتوي على المتغيرات نفسها، وبالأسس نفسها، كما يمكن أن نجمع أي حدين متشابهين أو نطرحهما وذلك بجمع معامليها أو طرحها فقط وإبقاء المتغيرات. ويكون المقدار الجبري في أبسط صورة إذا لم يحتوِ على أي حدود متشابهة.

 

مثال للتوضيح: \bg_white \large 6x+2x=(6+2)x=8x ؛ الحدان \bg_white \large 6x و \bg_white \large 2x متشابهان، نجمع معامل الحدين، ثم نضع \bg_white \large x .

\bg_white \large 6x-2x=(6-2)x=4x ؛ الحدان \bg_white \large 6x و \bg_white \large 2x متشابهان، نطرح معامل الحدين، ثم نضع \bg_white \large x .

ويمكن استخدام خصائص العمليات (الخاصية التجميعية والخاصية التبديلية) لجمع عدد من الحدود المتشابهة أو طرحها.

مثال للتوضيح:  \bg_white \large \left (7xy+4c \right )+\left (3xy-8c \right )=\left ( 7xy+3xy \right )+\left ( 4c-8c \right )=10xy-4c

ويمكن استخدام خاصية التوزيع لتبسيط مقدار جبري إشارته سالبة، مثل: \bg_white \large -\left ( 8x-4 \right ) ، وذلك بإدخال الإشارة السالبة على القوس وعكس إشارات جميع الحدود داخله ليصبح \bg_white \large -\left ( 8x-4 \right )=-8x+4

 

ضرب المقادير الجبرية

 

عند ضرب عدداً في حد جبري فإننا نجد ناتج ضرب العدد في معامل الحد الجبري، ثم نضع الناتج جانب المتغير. مثال للتوضيح: \bg_white \large 4\times 2z=8z

 

ويمكن تطبيق قواعد الأسس لضرب حد جبري في آخر حتى لو اختلفت متغيراتهما. مثال للتوضيح: \bg_white \large 4x\times3x=\left ( 3\times 4 \right )\left ( x\times x \right )=12x^{2}

 

ويمكن ضرب حد جبري في مقدار جبري باستخدام خاصية التوزيع؛ وذلك بضرب الحد في كل واحد من حدود المقدار.

مثال للتوضيح: \large 2x\left ( 3x-y \right )=\left ( 2x \right )\left ( 3x \right )-\left ( 2x \right )\left ( y \right )=6x^{2}-2xy

 

ويمكن أن نضرب مقدارين جبريين باستخدام خاصية التوزيع؛ وذلك بضرب كل حد من حدود المقدار الأول في كل حد من حدود المقدار الثاني.

مثال للتوضيح: \large \left ( x+4 \right )\left ( x+3 \right )=\left ( xx \right )+\left ( 3x \right )+\left ( 4x \right )+\left ( 3\times 4 \right )=x^{2}+7x+12

المصدر
كتاب "الرياضيات التطبيقية" للمؤلف "الدكتور المهندس عماد توما بني كرش"كتاب "الجبر المجرد" للمؤلف "ياسين عبد الواحد"كتاب "عجائب الحساب العقلي" للمؤلف "براديب كومار"

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى