مجموع المتتاليات الهندسية

مجموع المتتاليات الهندسية المحدودة:

المتتالية الهندسية المحدودة هي المتتالية التي تشتمل على عدد محدود من الحدود، فإذا تم افتراض أن متتالية هندسية عدد حدودها (ق) فإن مجموعها عبارة عن:
ح ₁ + ح ₂ + ح ₃ + ح ₄ + ………. + ح _ق
إذاً حـ = أ + أ_ر+ أ _ر²+ أ _ر³ ….. أ _ر^{ق – 1}
إذاً حـ _ر = أ_ر+ أ _ر²+ أ _ر³….. أ _ر^{ق – 1} + أ _ر^ق
وبطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية:
حـ _ر – حـ أ = أ- أ _ر^ق
إذاً حـ ر – حـ = أ _ر^ق – أ
حـ (ر – 1) = أ ( ر ^ق – أ)

وتستخدم هذه الصورة إذا كان أساس المتتالية (ر) > 1
لكن إذا تم طرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية فإن:
حـ – حـ ر = أ – أ _ر^ق
حـ (1 – ر) = أ (أ – ق ^ق )

(وتستخدم هذه الصورة إذا كان أساس المتتالية (ر) < 1 )
مثال:
ما هو ناتج مجموع المتتالية الهندسية المحددودة؟
4، 8، 16، ………….. إلى سبعة حدود.
الحل:

مجموع المتتالية الهندسية اللانهاية:

في القانون الخاص بمجموع المتتالية الهندسية المحدودة السابق عندما تكون (ر) < 1 ، نجد أنه كلما زادت (ق) زادت عدد حدود المتتالية الهندسية، فإذا آلت (ق) إلى (∞) فإن المتتالية الهندسية تصبح لانهائية أي تصبح مكونة من عدد لانهائي من الحدود.
ومن المعروف أنه إذا كانت القيمة المطلقة للأساس (ر) |ر| أقل من الواحد الصحيح فإن (ر) ق تصغر كلما كبرت قيمة (ق) بالتدريج حتى تؤول إلى (الصفر) عندما تؤول (ق) إلى (∞) ويتم كتابة ذلك كالآتي:
[ ر ^ق ← صفر عندما ق ← ∞]

وهكذا
وتتم الملاحظة أن ر ^ق تصغر كلما كبر الأس (ق) فإذا وصلت (ق) إلى ∞ فإن ر ^ق تؤول إلى الصفر.
وبالاستفادة من المقدمة عالية في القانون مجموع المتتاليات الهندسية المحدودة نجد أن:

فعندما تكبر (ق) ← ∞ تؤول قيمة (ر ^ق) في الجزء الثاني إلى الصفر، وبالتالي يصغر هذا الجزء الثاني من المجموع السابق.
كلما كبرت (ق) ومن ثم يؤول إلى صفر عندما تصل ق إلى ∞ ؛ (أي أن هذا الجزء يصبح ليس ذات قيمة ومن ثم يمكن إهماله) وبالتالي يصبح مجموع المتتالية الهندسية اللانهائية.