المعادلة التفاضلية: هي معادلة تحتوي على اقتران واحد أو أكثر مع مشتقاتها، يستخدم بشكل أساسي في الفيزياء والهندسة والبيولوجيا وما إلى ذلك، إذ إن الغرض الأساسي من المعادلة التفاضلية هو دراسة الحلول التي تحقق المعادلات.
الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية
الطرق العددية: هي واحدة من التقنيات الرئيسية المستخدمة لحل المعادلات التفاضلية لسنوات عديدة، تم النظر في بناء طرق عددية دقيقة ومستقرة لحلول المعادلات التفاضلية العادية مع وجود مشاكل القيمة الأولية، وفي الآونة الأخيرة تم اكتشاف طريقة جديدة لحل المعادلات التفاضلية وهي الطريقة التي اقترحها دفتردار جيجي وجعفري.
طرق حل المعادلات التفاضلية
حل المعادلات التفاضلية لها ثلاثة طرق رئيسية:
• الطرق التحليلية (المعروفة أيضا باسم الطرق الدقيقة أو الرمزية).
• الطرق الهندسية.
• الطرق العددية.
ماهي الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية
تحدث المعادلات التفاضلية العادية في العديد من التخصصات العلمية، بما في ذلك الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد بالإضافة إلى ذلك، تقوم بعض الطرق في المعادلات التفاضلية الجزئية العددية بتحويل المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة تفاضلية عادية، والتي يجب حلها بعد ذلك بعدة طرق منها:
⦁ طريقة أويلر.
⦁ طريقة التكامل الأسي من الدرجة الأولى.
لماذا نستخدم الحلول العددية للمعادلات التفاضلية
بالنسبة للعديد من المعادلات التفاضلية التي نحتاج إلى حلها في العالم الحقيقي، إذا كان لا يوجد حل جبري لها، أو أنه لا يمكننا حلها باستخدام التقنيات، نتيجة لذلك نحتاج إلى اللجوء إلى استخدام الأساليب العددية لحل مثل المعادلات التفاضلية، حتى إذا أمكن حل بعض المعادلات التفاضلية جبرياً، فقد تكون الحلول معقدة للغاية، في مثل هذه الحالات يعطينا النهج العددي حلاً تقريبياً جيداً.
مشكلة القيمة الأولية العامة
في بعض المعادلات يكون الحل معقداً، إذ إنه يتم حل مثل هذه المسائل باستخدام النهج العددي.
dy/dx =f(x,y)
حيث y(a): (القيمة الأولية) معروفة.
f(x,y): هو اقتران يحوي على المتغيرات (x), (y).
مثال على مشاكل القيمة الأولية:
dy/dx = 6- 2 y/x
y (3) = 1
لاحظ أن الطرف الأيمن اقتران بمتغيرين (x) و (y).
