اقرأ في هذا المقال
- العلاقة بين النسب المثلثية
- مقدمة في علم المثلثات والنسب المثلثية
- أمثلة على العلاقات بين النسب المثلثية
العلاقة بين النسب المثلثية
النسب المثلثية: هي نسب مشتقة من المثلث القائم الزاوية، وهي جيب التمام، وجيب الزاوية، وظل الزاوية، ونسب أخرى فرعية مشتقة من النسب الثلاثة الرئيسية، بحيث يسمى الضلع الثالث المقابل للزاوية القائمة “الوتر”، وتخص النسب المثلثية الزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية.
مقدمة في علم المثلثات والنسب المثلثية
- يعد علم المثلثات أحد أكثر فروع الرياضيات فائدة وهو قابل للتطبيق بشكل كبير في كثير من العلوم.
- يعتمد حساب المثلثات على الزوايا والمسافات والمثلثات، وتحديداً العلاقة بين الزاوية الداخلية في المثلث ونسبة أطوال أضلاعه.
- تسمح لنا نظرية فيثاغورس بإيجاد طول أي ضلع من أضلاع مثلث قائم الزاوية إذا عرفنا الجانبين الآخرين.
- حساب المثلثات هو أداة أكثر قوة لأنه يسمح لنا بإيجاد جانب واحد من المثلث بناءً على زاوية مرجعية.
- يمكن حساب المثلثات أيضًا من إيجاد زاوية داخلية قائمة على ضلعي المثلث.
- على الرغم من تنوع تطبيقات النسب المثلثية، يمكن للموضوع بأكمله أن يتلخص في ثلاث نسب مثلثية أساسية كل منها يربط زاوية مرجعية بنسبة من الأضلاع من نفس النسب المثلثية وهي:
- جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل لتلك الزاوية والوتر.
- جيب تمام الزاوية هو نسبة الضلع المجاور لتلك الزاوية والوتر.
- ظل الزاوية هو نسبة الأضلاع المقابلة للزاوية والمجاورة لها.
بناءً على المثلث أعلاه ، يمكننا كتابة النسب المثلثية التالية:
sin 𝜃 = ( y / r )
cos 𝜃 = ( x / r )
tan 𝜃 = ( y / x )
:وبالاعتماد على النسب المثلثية الثلاث السابقة يمكن اشتقاق نسب مثلثة أخرى تربط بين النسب السابقة وهي
sin²𝜃 + cos²𝜃 = 1
1+ tan²𝜃 = sec²𝜃
1+ cot²𝜃 = csc²
csc 𝜃 = 1/(sin 𝜃)
cot𝜃 = (cos 𝜃)/(sin 𝜃)
إذا كان مجموع الزاويتين الحادتين (90) درجة، فيتم تسميتهما بالزاواتين المتممتين، وتكون العلاقة بين النسب المثلثية (ظل الجيب وجيب التمام وظل التمام القاطع وقاطع التمام) بين الزاويتين كالتالي:
sin 𝜃 = (cos (90 – 𝜃))
cot 𝜃 = (cos (90 – 𝜃))
(tan (90-𝜃)) = cot 𝜃
أمثلة على العلاقات بين النسب المثلثية
أوجد القيم التالية:
- sin² 30° + cos² 30°
الحل:
sin² 𝜃 + cos² 𝜃 = 1
sin² 30° + cos² 30° = 1
- tan 45° − sin 45°/ cos 45°
الحل:
tan 45° = sin 45°/ cos 45°
0 = tan 45° − sin 45°/ cos 45°
