العلومالرياضيات

تركيب الاقترانات

تمت تحريره بواسطة: - اخر تحديث : ٢٠:٣٩:٥٠ ، ٢٨ نوفمبر ٢٠٢١ - مشاهدات : ٥٩١

اقرأ في هذا المقال

يمكن استعمال أي اقترانين، مثل: f(x)=x^{2} ,g(x)=2x-1 لتكوين اقترانات جديدة، وذلك بإجراء عمليات جمع، أو طرح، أو ضرب، أو قسمة عليهما كما في الأمثلة التالية: (f+g)(x)=x^{2}+2x-1 ، (f-g)(x)=x^{2}-2x+1 (f.g)(x)=x^{2}(2x-1) ، (\frac{f}{g})(x)=\frac{x^{2}}{2x-1} .

تركيب الاقترانان

والآن سوف نتعلم طريقة جديدة لتكوين اقتران جديد من الاقترانين f وَ g عن طريق دمجهما، بحيث تكون مخرجة أحداهما مدخلة للآخر. وتسمى علية الدمج هذه تركيب الاقترانات، ويسمى الاقتران الناتج الاقتران المركب. يمكن تركيب الاقترانين بطريقتين، هما: تطبيق f أولاً، ثم g على نتيجة f، ويرمز إلى ذلك بالرمز (g\circ f) ، ويقرأ: g بعد f. وتطبيق g أولاً، ثم f على نتيجة g ، ويرمز إلى ذلك بالرمز (f\circ g) ، ويقرأ: f بعد g .

وإذا كان f(x) وَ g(x) اقترانين، فإن الاقتران الناتج من تركيب f,g هو: (f\circ g)(x)=f(g(x)) . ويقرأ: f بعد g، ويكون مجال الاقتران المركب (f\circ g) هو مجموعة قيم x من مجال g التي تكون مخرجاتها g(x) في مجال f.

مثال: إذا كان f(x)=x^{2},g(x)=x+4 ، فجد:

  • (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+4)=(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16
  • (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+4
  • (g\circ f)(3)=g(f(3))=g(3^{2})=g(9)=9+4=13
  • (f\circ g)(5)=f(g(5))=f(5+4)=f(9)=9^{2}=81

يمكن النظر إلى كثير من الاقترانات بوصفها اقترانات مركبة، وإيجاد اقترانين بسيطين يكافئ تركيبهما الاقتران المركب، عندئذ يكون الاقترانين البسيطان مركبتي الاقتران المركب.

مثال: جد الاقترانين f(x)، وَ g(x) ، بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة h(x)=f(g(x))

h(x)=\frac{1}{x+3} ، نفرض أن f(x)=\frac{1}{x},g(x)=x+3 وبذلك، فإن:  f(g(x))=f(x+3)=\frac{1}{x+3}=h(x)

يمكن استعمال فكرة الاقترانات المركبة في مواقف حياتية كثيرة، مثل: التجارة، والصناعة، وغيرهما. مثال: وجد مدير مصنع للأثاث أن تكلفة إنتاج q من خزانات الكتب في فترة العمل الصباحية بالدينار هي: C(q)=q^{2}+2q+800 . إذا كان عدد خزانات الكتب التي يمكن إنتاجها في t ساعة في الفترة الصباحية هي: q(t)=20t,0\leq t\leq 5 فما تكلفة الانتاج بدلالة t ؟ كم دينار تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة؟

الحل: لإيجاد تكلفة الإنتاج بدلالة t ، نعوض قيمة q(t) في معادلة التكلفة، فنكون اقتراناً مركباً هو (C\circ q)(t) .

(C\circ q)(t)=C(q(t))=C(20t)=(20t^{2})+2(20t)+800

(C\circ q)(t)=400t^{2}+40t+800

تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : (C\circ q)(4)

(C\circ q)(4)=400(16)+40(4)+800=7360

إذن، تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي: 7360 دينار.

مثال: يحول الاقتران C(F)=\frac{5}{9}(F-32) درجات الحرارة من المقياس الفهرنهايتي F إلى مقياس سلسيوس C. ويحول الاقتران K(C)=C+273 درجات الحرارة من مقياس سلسيوس C إلى مقياس كلفن K. نكتب الاقتران الذي يحول درجة الحرارة من المقياس الفهرنهايتي إلى مقياس كلفن، ثم نجد درجة الحرارة على مقياس كلفن التي تقابل 86 درجة فهرنهايتية؟

الحل:  الاقتران الذي يحول درجة الحرارة من المقياس الفهرنهايتي إلى مقياس كلفن، أي أن، نعوض F بدلالة C لذلك نكون اقتراناً مركباً وهو (K\circ C)(F)(K\circ C)(F)=K(\frac{5}{9}(F-32))=\frac{5}{9}(F-32)+273

لإيجاد درجة الحرارة على مقياس كلفن التي تقابل 86 درجة فهرنهايتية يعني نجد (K \circ F)(86):

(K\circ F)(86)=\frac{5}{9}(86-32)+273=303K

المصدر: كتاب "الرياضيات التطبيقية" للمؤلف "الدكتور عماد توما بني كرش"كتاب "الرياضيات للفضوليين" للمؤلف "بيتر إم هيجنز"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"كتاب "عجائب الحساب العقلي" للمؤلف "براديب كومار"

شارك المقالة:

وسوم: الاقتران المركبالمجالالمدىتركيب الاقتراناتعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة

مقالات مختارة

هل تعلم

أكثر المقالات مشاهدةً