الرياضياتالعلوم

تركيب الاقترانات

اقرأ في هذا المقال:

يمكن استعمال أي اقترانين، مثل: f(x)=x^{2} ,g(x)=2x-1 لتكوين اقترانات جديدة، وذلك بإجراء عمليات جمع، أو طرح، أو ضرب، أو قسمة عليهما كما في الأمثلة التالية: (f+g)(x)=x^{2}+2x-1 ، (f-g)(x)=x^{2}-2x+1 (f.g)(x)=x^{2}(2x-1) ، (\frac{f}{g})(x)=\frac{x^{2}}{2x-1} .

 

تركيب الاقترانان

 

والآن سوف نتعلم طريقة جديدة لتكوين اقتران جديد من الاقترانين f وَ g عن طريق دمجهما، بحيث تكون مخرجة أحداهما مدخلة للآخر. وتسمى علية الدمج هذه تركيب الاقترانات، ويسمى الاقتران الناتج الاقتران المركب. يمكن تركيب الاقترانين بطريقتين، هما: تطبيق f أولاً، ثم g على نتيجة f، ويرمز إلى ذلك بالرمز (g\circ f) ، ويقرأ: g بعد f. وتطبيق g أولاً، ثم f على نتيجة g ، ويرمز إلى ذلك بالرمز (f\circ g) ، ويقرأ: f بعد g .

 

وإذا كان f(x) وَ g(x) اقترانين، فإن الاقتران الناتج من تركيب f,g هو: (f\circ g)(x)=f(g(x)) . ويقرأ: f بعد g، ويكون مجال الاقتران المركب (f\circ g) هو مجموعة قيم x من مجال g التي تكون مخرجاتها g(x) في مجال f.

 

مثال: إذا كان f(x)=x^{2},g(x)=x+4 ، فجد:

 

  • (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+4)=(x+4)^{2}=x^{2}+8x+16

 

  • (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+4

 

  • (g\circ f)(3)=g(f(3))=g(3^{2})=g(9)=9+4=13

 

  • (f\circ g)(5)=f(g(5))=f(5+4)=f(9)=9^{2}=81

 

يمكن النظر إلى كثير من الاقترانات بوصفها اقترانات مركبة، وإيجاد اقترانين بسيطين يكافئ تركيبهما الاقتران المركب، عندئذ يكون الاقترانين البسيطان مركبتي الاقتران المركب.

 

مثال: جد الاقترانين f(x)، وَ g(x) ، بحيث يمكن التعبير عن كل من الاقترانين الآتيين بالصورة h(x)=f(g(x))

h(x)=\frac{1}{x+3} ، نفرض أن f(x)=\frac{1}{x},g(x)=x+3 وبذلك، فإن:  f(g(x))=f(x+3)=\frac{1}{x+3}=h(x)

يمكن استعمال فكرة الاقترانات المركبة في مواقف حياتية كثيرة، مثل: التجارة، والصناعة، وغيرهما. مثال: وجد مدير مصنع للأثاث أن تكلفة إنتاج q من خزانات الكتب في فترة العمل الصباحية بالدينار هي: C(q)=q^{2}+2q+800 . إذا كان عدد خزانات الكتب التي يمكن إنتاجها في t ساعة في الفترة الصباحية هي: q(t)=20t,0\leq t\leq 5 فما تكلفة الانتاج بدلالة t ؟ كم دينار تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة؟

 

الحل: لإيجاد تكلفة الإنتاج بدلالة t ، نعوض قيمة q(t) في معادلة التكلفة، فنكون اقتراناً مركباً هو (C\circ q)(t) .

 

(C\circ q)(t)=C(q(t))=C(20t)=(20t^{2})+2(20t)+800

 

(C\circ q)(t)=400t^{2}+40t+800

تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي : (C\circ q)(4)

(C\circ q)(4)=400(16)+40(4)+800=7360

 

إذن، تكلفة الإنتاج في نهاية ساعة العمل الرابعة هي: 7360 دينار.

 

مثال: يحول الاقتران C(F)=\frac{5}{9}(F-32) درجات الحرارة من المقياس الفهرنهايتي F إلى مقياس سلسيوس C. ويحول الاقتران K(C)=C+273 درجات الحرارة من مقياس سلسيوس C إلى مقياس كلفن K. نكتب الاقتران الذي يحول درجة الحرارة من المقياس الفهرنهايتي إلى مقياس كلفن، ثم نجد درجة الحرارة على مقياس كلفن التي تقابل 86 درجة فهرنهايتية؟

 

الحل:  الاقتران الذي يحول درجة الحرارة من المقياس الفهرنهايتي إلى مقياس كلفن، أي أن، نعوض F بدلالة C لذلك نكون اقتراناً مركباً وهو (K\circ C)(F) (K\circ C)(F)=K(\frac{5}{9}(F-32))=\frac{5}{9}(F-32)+273

 

لإيجاد درجة الحرارة على مقياس كلفن التي تقابل 86 درجة فهرنهايتية يعني نجد (K \circ F)(86):

(K\circ F)(86)=\frac{5}{9}(86-32)+273=303K

المصدر
كتاب "الرياضيات التطبيقية" للمؤلف "الدكتور عماد توما بني كرش"كتاب "الرياضيات للفضوليين" للمؤلف "بيتر إم هيجنز"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"كتاب "عجائب الحساب العقلي" للمؤلف "براديب كومار"

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى