الفرق بين مربعين

مفهوم الفرق بين مربعين:

يعد الفرق بين مربعين من أحد أهم مواضيع علم الجبر، وهو عبارة عن إحدى طرق صيغ المعادلة التربيعية، وهي تعبرعن معادلة يقام طرح فيها مربعين الحدين، الذي هو ناتج عن طرح الحدين مضروب في ناتج جمع الحدين، مع الأخذ بعين الاعتبار مراعاة الترتيب.

قانون الفرق بين مربعين:

تمّ استنتاج قانون الفرق بين مربعين من خلال معرفتنا بأنّ المربع شكل هندسي جميع أضلاعه متساوية، فإذا فرضنا أنّ هناك مربعين الأول مساحته ( س²) والمربع الثاني مساحته (ص²)، ثمّ أردنا إيجاد الفرق بين مربعين فإنها تكتب بالعلاقة التالية :                         

الفرق بين مربعين= س²– ص²
وعند تحليل هذا المقدار يكون: س² – ص ²= (س-ص)(س+ص)=0
فيصبح لدينا إمّا: س – ص= 0 أو س + ص= 0
يتم التعبير عنه بالكلمات كالآتي: مربع الحد الأول – مربع الحد الثاني= (الحد الأول – الحد الثاني)(الحد الأول + الحد الثاني).

خطوات تحليل الفرق بين مربعين:

يتم تحليل الفرق بين مربعين باستخدام الخطوات التالية بعد التأكد من أنّ المقدار أو التعبير الجبري مكتوب حسب الصورة العامة للفرق بين مربعين، التي تم ذكرها في الأعلى وهي (س²– ص²)، الخطوات كالآتي:

• فتح قوسين بحيث تكون العلاقة بينهما ضرب: ( )( ).
  
• كتابة إشارة الجمع في القوس الأول، وفي القوس الثاني كتابة إشارة الطَرح: ( + )( – ).
  
• كتابة الجذر التربيعي للحد الأول في كل من القوسين قبل إشارتي الجمع والطرح: (س + )(س – ).
  
• كتابة الجذر التربيعي للحد الثاني في كل من القوسين بعد إشارتي الجمع والطرح: (س + ص)(س – ص).
  
• ثمّ نحصل على الشكل النهائي للفرق بين المربعين: س² – ص ²= (س – ص)(س + ص).

أمثلة على الفرق بين مربعين:

المثال الأول: حلل المقدار س² – 9 إلى عوامله باستخدام الفرق بين المربعين:

الحل: تحويل المعادلة الى صيغة (س+ص) (س-ص)، وفي هذه الحالة تصبح المعادلة كالآتي:
(س + 3)(س – 3).

المثال الثاني: حلل المقدار 5س² – 45 إلى عوامله باستخدام الفرق بين المربعين:

الحل: نستخرج العدد 5 عامل مشترك أولاً ثمّ نجد الفرق بين المربعين
5(س² – 9)= 5(س – 3)(س + 3).

المثال الثالث: حلل المقدار التالي 8 س²– 18 ص² باستخدام الفرق بين المربعين:

الحل: الحل نستخرج العدد 2 عامل مشترك أولاً ثمّ نجد الفرق بين المربعين
2(4س² – 9ص²)= 2(2س-3ص)(2س+3ص).

المثال الرابع: حلل المقدارالتالي (7,5)²– (3,5)² حسب تحليل الفرق بين مربعين:

الحل: ((7,5) – (3,5))((7,5 + (3,5))= 4*11=44.

المثال الخامس: حلل المقدار التالي 4 ص³– 16 ص باستخدام الفرق بين المربعين:

الحل يبدأ باستخراج عامل مشترك بين الحدين وهو 4 ص
4ص(ص² – 4)= 4ص((ص-2)(ص+2)).

المثال السادس: حلل المقدار التالي س²– 16 باستخدام الفرق بين المربعين:

الحل: تحويل المعادلة إلى صيغة (س+ص) (س-ص)، وفي هذه الحالة تصبح المعادلة كالآتي: (س+4)(س-4).