المجسمات الهندسية في الرياضيات
- المجسمات: في الهندسة هي الشكل الذي له ثلاثة أبعاد (الطول والعرض والارتفاع) أي الأشكال ثلاثية الأبعاد، حيث تشغل هذه الأشكال الصلبة حيزاً في الفراغ وتوجد في حياتنا اليومية، إذ نلمسها ونشعر بها ونستخدمها، كما أن جميع المجسمات الهندسية لها حجم وأسطح محددة، ويتم تصنيف المجسمات حسب عدد الأوجه والأضلاع والرؤوس.
- الوجه: هو عبارة عن سطح مستوي، وبعض الأوجه تسمى “قواعد”.
- الحرف: ينتج من التقاء وجهين.
- الرأس: ينتج من التقاء ثلاثة أوجه أو أكثر.
أنواع المجسمات الهندسية في الرياضيات
المجسمات متعددة السطوح
المجسم متعدد السطوح: هو الشكل الذي تكون جميع أسطحه مسطحة، مثل:
1. المكعب
- يحتوي على ستة أوجه متطابقة ومربعة الشكل.
- يحتوي على (12) ضلع مستقيم ومتساوي في الطول “حواف المكعب”.
- يضم ثمانية رؤوس تشكل زواياه، وتنتج من التقاء أطراف حوافه معاً، تلتقي الوجوه معاً عند الحواف، ليشترك كل وجهين بحافة مشتركة بينهما.
يحسب حجم المكعب بالصيغة التالية:
حجم المكعب هو: الطول×العرض×الارتفاع
حجم المكعب = الضلع×الضلع×الضلع = (طول الضلع)³
يحسب مساحة سطح المكعب بالعلاقة التالية وبما أن المكعب يحتوي على ستة وجوه، وكل وجه من وجوه المكعب هو مربع الشكل، ومساحة المربع = (طول الضلع)².؛ فإن:
مساحة سطح المكعب = 6×طول الضلع².
2. الهرم
الهرم: هو شكل ثلاثي الأبعاد، له قاعدة متعددة الأضلاع ووجوه مثلثة مسطحة، تلتقي عند نقطة مشتركة تسمى القمة، يتكون الهرم من خلال ربط القواعد بقمة، إذ إنه كل حافة للقاعدة متصلة بالقمة، وتشكل وجهًا مثلثًا يسمى الوجه الجانبي، ويمكن التمييز بين الهرم المنتظم وغير المنتظم، حسب شكل القاعدة، إذا كانت قاعدة المضلع منتظمة، يتم تصنيفها على أنها هرم منتظم، وإلا فإنها تعتبر هرمًا غير منتظم، إذا كان الهرم منتظماً ويحتوي على قاعدة لها جوانب عددها ( n )، فإنه:
عدد الوجوه الهرم = ( n + 1 )
عدد الرؤوس الهرم = ( n + 1 )
عدد الحواف الهرم = ( n×2 )
إلى جانب ذلك فإنه يتم تصنيف الأهرامات إلى أنواع حسب شكل القاعدة، إلى الأنواع التالية:
- الهرم الثلاثي: هو شكل يحتوي على قاعدة مثلثة الشكل، ووجوه جانبية مثلثة الشكل، وهناك نوعان رئيسيان من الهرم، وهما الهرم القائم والهرم المائل.
1_ عدد الوجوه للهرم: (3 + 1) = 4
2_ عدد الرؤوس للهرم: (3 + 1) = 4
3_ عدد الحواف للهرم: 2 (3) = 6
- الهرم الرباعي: هو شكل يحتوي على قاعدة ذات شكل مربع (القاعدة ذات 4 جوانب)، فيسمى الهرم المربع. بما أن المربع له ( 4 ) جوانب، فإن الهرم المربع له الخصائص التالية:
1_ عدد الوجوه للهرم: (4 + 1) = 5
2_ عدد الرؤوس للهرم: (4 + 1) = 5
3_ عدد الحواف للهرم: 2 (4) = 8
- الهرم الخماسي: هو شكل يحتوي على قاعدة ذات شكل خماسي (قاعدة ذات 5 جوانب) ، فإنه يسمى الهرم الخماسي. بما أن الشكل الخماسي له ( 5 ) جوانب، فإن الهرم الخماسي له الخصائص التالية:
1_ عدد الوجوه للهرم: (5 + 1) = 6
2_ عدد الرؤوس للهرم: (5 + 1) = 6
3_ عدد الحواف للهرم: 2 (5) = 1
المساحة الكلية للهرم هي مجموع مساحة القاعدة ونصف حاصل ضرب محيط القاعدة والارتفاع المائل.
إجمالي مساحة سطح الهرم = (½) P × l + B وحدات مربعة
“P” هو محيط القاعدة
“l” هو الارتفاع المائل
“B” هي منطقة القاعدة.
الشكل العام لإيجاد حجم الهرم هو ثلث مساحة القاعدة وارتفاع الهرم
حجم الهرم = (⅓) × (مساحة القاعدة) × (الارتفاع) وحدات مكعبة.
3. المنشور الثلاثي
المنشور الثلاثي: هو الشكل الذي يحتوي على قاعدتين مثلثتي الشكل، ووجوه جانبية مستطيلة الشكل. وتمثل مساحة سطح المنشور الثلاثي مقدار الحيز الذي يشغلة السطح الخارجي للمنشور، ويتم حسابها ( مجموع مساحة الأوجه الجانبية ومساحة قاعدتي المنشور الثلاثي)، وبالتالي تكون صيغة حساب مساحة السطح هي:
حجم المنشور الثلاثي: هو مقدار الحيز أو الفراغ داخل المنشور (سعة المنشور)، ويمكن الحصول على حجم المنشور الثلاثي من خلال اتباع الصيغة الرياضية الآتية:
حجم المنشور الثلاثي = مساحة القاعدة (مثلث) × ارتفاع المنشور.
حجم المنشور الثلاثي = (1 /2) × طول القاعدة × ارتفاع القاعدة) × ارتفاع (طول) المنشور.
المساحة السطحية للمنشور الثلاثي = المساحة الجانبية للمنشور + 2×مساحة قاعدة المنشور المثلثة.
المساحة الجانبية للمنشور الثلاثي = محيط القاعدة المثلثة × ارتفاع المنشور.
المساحة السطحية للمنشور الثلاثي = محيط القاعدة المثلثة × ارتفاع المنشور + 2 × مساحة قاعدة المنشور المثلثة
مساحة قاعدة المنشور المثلثة = 1/2 × طول ضلع القاعدة المثلثة× ارتفاع القاعدة المثلثة.
المجسمات غير متعددة السطوح
المجسمات غير متعددة السطوح: هو الشكل الذي يحتوي على سطح واحد على الأقل غير مستوي، ومن الأمثلة عليه؛ المخروط، الكرة، والأسطوانة، كما في الأشكال التالية على الترتيب.
