كيفية إيجاد المسافة بين نقطة وخط مستقيم

المسافة بين نقطة وخط مستقيم

المسافة بين مستقيم ونقطة لا تقع عليه: هو طول القطعة المستقيمة العمودية على المستقيم من تلك النقطة، وهي أقصر مسافة بين المستقيم والنقطة، إذ أنه ينشأ عمود على مستقيم من نقطة لا تقع عليه باستخدام الفرجار والمسطرة، ويتبين من طريقة الرسم هذه أنه يوجد مستقيم عمودي واحد على الأقل على مستقيم معلوم من نقطة لا تقع عليه.

لكن مسلمة التعامد تنص على أنه لأي مستقيم ونقطة لا تقع عليه مستقيم واحد فقط يمر بتلك النقطة، ويكون عموديًا على المستقيم المعلوم، نقوم بإيجاد المسافة بين نقطة والمحور السيني بتحديد الإحداثي الصادي للنقطة، ونقوم بإيجاد المسافة بين النقطة والمحور الصادي بتحديد الإحداثي السيني للنقطة.

كيفية إيجاد المسافة بين نقطة معلومة وخط مستقيم معلوم

لإيجاد المسافة بين نقطة معلومة وخط مستقيم معلوم نقوم بإجراء الخطوات التالية:

الخطوة الأولى:

• إيجاد ميل المستقيم عن طريق تطبيق معادلة الميل:

m = ( y1 + y2 ) / ( x2 – x1 )

• إيجاد قيمة (b) في معادلة المستقيم (L) عن طريق تعويض النقطة المعطاة وميل المستقيم الذي تم حسابه بالخطوة السابقة.

• تعويض قيمة الميل والثابت (b) في معادلة المستقيم:

y = mx + b

الخطوة الثانية:

• إيجاد معادلة المستقيم (w) العمودي على المستقيم (L) والمار بالنقطة المعطاة، عن طريق تعويض النقطة المعطاة بمعادلة المستقيم بحيث يكون ميل معادلة المستقيم (w) يساوي ميل المستقيم (L) مضروباً بسالب.

الخطوة الثالثة:

• استخدم معادلتي المستقيم (w,L) لكتابة نظام معادلات وحله لإيجاد نقطة تقاطع المستقيمين، وحل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين هو زوج مرتب يحقق كل معادلة في النظام، ويتم حل نظام المعادلات بالحذف أو التعويض.

الخطوة الرابعة:

• قم باستعمال صيغة المسافة بين نقطتين لتجد المسافة بين النقطة الناتجة من حل المعادلتين (L,w) والنقطة المعطاة.

مثال

جد المسافة بين النقطة (1,0) والمستقيم المار بالنقطتين (1,2) و (3,0).

حساب ميل المستقيم m = (y1 + y2 ) / ( x2- x1 ).

m = ( 2 + 0 )/ (1 – 3 )

(m = -1)، ميل المستقيم هو (-1)

صيغة الميل والمقطع هي (y = mx + b)

بتعويض القيم (y = 0, x = 3, m = -1)

(0 = -1 (3) + b) منه يكون (b = 3)

فتكون معادلة المستقيم (y = -x + 3).

لإيجاد معادلة المستقيم (w) العمودي على المستقيم (y = -x + 3)، والمار بالنقطة (1,0)، فيكون ميل المستقيم (w) هو (1).

ثم بتعويض القيم (x = 1, y = 0, m = 1) في المعادلة (y = mx + b)، فينتج أن (b = -1).

معادلة المستقيم (w) هي (y = x – 1).

نستعمل المعادلتين (L  و w) لكتابة نظام معادلات وحله لايجاد نقطة تقاطع المستقيمين.

معادلة المستقيم ( L  ( Y = -X + 3

معادلة المستقيم ( w  ( Y = X – 1

بحذف المتغير (Y) فينتج أن (Y = 1)

نعوض (Y = 1) في إحدى المعادلتين السابقتين فينتج أن (X = 2).

اذاً يتقاطع المستقيمين في النقطة (2,1).

استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لإيجاد المسافة بين النقطتين (2,1), (1,0).

d = ( ( y2 – y1 )² + ( x2 – x1 )²)^1/2 ) )

d = ( ( 1 – 0 )² + ( 2 – 1 )²)^1/2 ) )

  .( 2 )^1/2 :اذاً المسافة بين النقطة المعطاة والمستقيم هي ،d = ( 2 )^1/2