المعادلة التفاضلية التامة: هو معادلة تحتوي على حد واحد أو أكثر، وهو ينطوي على مشتق متغير واحد (متغير تابع) فيما يتعلق بالمتغير الآخر (متغير مستقل)، يمكننا تمثيل المعادلة التفاضلية لاقتران معين ممثل في صورة: f (x) = dy / dx حيث (x) متغير مستقل و (y) متغير تابع.
مفهوم المعادلات التفاضلية التامة
المعادلات التفاضلية التامة ليست خطية بشكل عام، بعبارة أي أنه يمكن تعريف ذلك على أنه طريقة لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى.
- يمكن أن يكون حل المعادلة التفاضلية التامة في الصورة الضمنية F (x ، y) التي تساوي (C).
- على الرغم من أن هذه فئة متميزة من المعادلات التفاضلية، إلا أنها ستشترك في العديد من أوجه التشابه مع المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى، ومع ذلك سيتخذ عامل التكامل شكلاً مختلفاً عن شكل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى.
الصيغة العامة للمعادلة التفاضلية التامة
دعونا نعتبر المعادلة P (x، y) dx + Q (x، y) dy تساوي (0) ، لنفترض أن هناك دالة v (x، y) بحيث dv = Mdx + Ndy، ثم إن حل معادلة تفاضلية تام يعطى بواسطة:
v (x ، y) = c
إذا كان (p), (q) هي اقترانات مستمرة ل (x) و (y).
Pdx + Qdy = 0 —-🡪 (1)
.dP/dy = dQ/dx ،حيث أن
أمثلة على المعادلات التفاضلية التامة
Cos y dx + (y² – x sin y) dy = 0
(Xy² + x) dx + yx² dy = 0
(2xy – 3x²) dx + (x² – 2y) dy = 0
(6x² – y +3) dx + (3y² – x – 2) dy = 0
مثال: حل المعادلة التفاضلية 3x (xy -2) dx + (x2 + 2y)dy = 0.
الحل:
P = 3x (xy -2), Q = (x2 + 2y).
dP/dy = 3 x²
dQ/dx = 3 x²
بما أن dP/dy = dQ/dx، فإن الاقترانات والمشتقات مستمرة، ومن ثم فإن المعادلة تامة.
∫ (3x²y – 6x) dx + ∫2ydy = C
x³y – 3x² + y² = C
