المعادلات التفاضلية الجزئية: هي المعادلات التفاضلية التي تحتوي على مشتقات جزئية مع متغيرين مستقلين أو أكثر المعادلات التفاضلية الجزئية، وهي حالة خاصة لمعادلة تفاضلية عادية هذه المعادلات ذات أهمية علمية أساسية ومن الأمثلة عليها، معادلة الانتشار ومعادلة الموجة ,ومعادلة الصوت، ويتم حلها باستخدام تقنية فصل المتغيرات.
كيفية تمثيل المعادلات التفاضلية الجزئية
المعادلة التفاضلية الجزئية تكون خطية إذا كانت f دالة خطية لك ومشتقاتها، ويمكن تمثيلها كما يلي:
∂u/∂x (x,y) = 0
في المعادلات التفاضلية الجزئية، نشير إلى المشتقات الجزئية باستخدام الأحرف، مثل:
- Ux = du/ dx
- Uxx d=u²/dx²
- Uxy= d²u/dyx
التفاضلية الجزئية في الميكانيكا
كل نوع من المعادلات التفاضلية الجزئية وظائف معينة تساعد على تحديد ما إذا كان نهج عنصر محدود معين مناسباً للمشكلة التي تصفها المعادلة، يعتمد الحل على المعادلة وتحتوي العديد من المتغيرات على مشتقات جزئية فيما يتعلق بالمتغيرات، هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية في الميكانيكا:
- المعادلة التفاضلية الجزئية الإهليلجية.
- المعادلة التفاضلية الجزئية مكافئة.
- المعادلة التفاضلية الجزئية الزائدية.
أنواع المعادلات التفاضلية الجزئية
الأنواع المختلفة للمعادلات التفاضلية الجزئية هي:
- معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى: هي معادلة تفاضلية جزئية تحتوي فقط على المشتقة الأولى للمتغيرات المجهولة للإقتران التي تحتوي على متغيرات “m”. يتم التعبير عنها في شكل:
F (x1,…,xm, u,ux1,….,uxm) = 0
- المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية: إذا كان المتغير التابع وجميع مشتقاته الجزئية خطياً في المعادلة التفاضلية، وغير ذلك فإنها غير خطية.
- معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية: يقال أنها شبه خطية إذا كانت جميع الحدود ذات المشتقات الأعلى مرتبة للمتغيرات التابعة تحدث خطياً، أي أن معامل هذه الحدود هي تعبير مشتقات ذات ترتيب أدنى فقط للمتغيرات التابعة، ويمكن أن تحدث الحدود ذات المشتقات ذات الترتيب الأدنى بأي شكل من الأشكال.
- معادلة تفاضلية جزئية متجانسة: إذا كانت جميع شروط المعادلة التفاضلية الجزئية تحتوي على المتغير التابع أو مشتقاته الجزئية، وتكون المعادلات المتجانسة فيها الحد الثابت يساوي صفر.
