الرياضياتالعلوم

المعادلة التربيعية

تعرف العبارة التربيعية بأنها عبارة عن معادلة كثيرة حدود ذات متغير واحد من الدرجة الثانية، أي أكبر قوة لها هي 2، والصورة العامة للمعادلة التربيعية في متغير واحد هي: ax^{2}+bx+c=0 حيث a\neq 0، ويسمى العدد x_{1} حلاً أو جذراً للمعادلة إذا كان ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=0.

 

تعلّم: إذا كان \bg_white a,b عددين حقيقين ، وكان \bg_white a\times b=0 فإن \bg_white a=0 أو \bg_white b=0 أو كليهما يساوي صفراً، تسمى هذه الخاصية بالخاصية الصفرية.

 

طرق حل المعادلة التربيعية

 

تمثل حل المعادلة التربيعية الذي تكون عندها المعادلة تساوي صفر، ومن هذه الطرق:

 

حل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى العوامل

لحل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى العوامل نقوم بالخطوات التالية:

 

  • نكتب المعادلة بالصورة العامة ax^{2}+bx+c=0.

 

  • نحلل الطرف الأيسر للمعادلة إلى العوامل الأولية بكتابته على شكل حاصل ضرب عبارتين خطيتين.

 

  • نستخدم الخاصية الصفرية.

 

 

مثال للتوضيح: x^{2}+9x+14=0 نلاحظ في المثال أن المعادلة التربيعية مكتوبة على الصورة العامة؛ لأن معامل x^{2}=1، بعد ذلك نقوم بفتح قوسين ونجد عددين حقيقيين حاصل ضربهما \left ( +14 \right ) أي الحد المطلق، وحاصل جمعهما \bg_white \left ( +9 \right ) أي معامل \bg_white x فتكون الإجابة كالتالي: \left ( x+7 \right )\left ( x+2 \right )=0، بعد ذلك نقوم بحل المعادلتين الخطيتين: إما  \left ( x+7 \right )=0\Rightarrow x=-7 أو \left ( x+2 \right )=0\Rightarrow x=-2 مجموعة حل المعادلة التربيعية \left \{ -7,-2 \right \}.

 

حل المعادلة التربيعية بطريقة إكمال مربع

 

لحل المعادلة التربيعية بإكمال مربع نقوم بالخطوات التالية:

 

  • نجعل الحد المطلق في الطرف الأيسر من المعادلة.

 

  • نجعل معامل x^{2} يساوي 1.

 

  • نضف مربع نصف معامل x لكل من الطرفين.

 

  • نحلل المقدار الثلاثي في الطرف الأيمن ونكتبه كمربع كامل على صورة \left ( x+c \right )^{2}.

 

 

  • نكمل حل المعادلتين الخطيتين وسنحصل على حلين للمعادلة التربيعية.

 

نتذكر أن: \sqrt{x^{2}}=\left | x \right |,x\epsilon R ، إذا كان \left | x \right |=a فإن x=a أو x=-a.

 

مثال للتوضيح: 2x^{2}-20x+18=0 ، أولاً يجب أن يكون الحد المطلق في الطرف الأيمن للمعادلة 2x^{2}-20x=-18 ، ثانياً يظهر في المثال أن معامل x^{2}\neq 1 لذلك نقسم المعادلة التربيعية على معامل x^{2} أي 2 فتصبح المعادلة x^{2}-10x=-9، ثالثاً نضيف مربع نصف معامل x لكل من الطرفين أي \left ( \frac{1}{2}x \right )^{2}=25 فتصبح المعادلة التربيعية x^{2}-10x+25=-9+25 ، رابعاً نحلل المقدار الثلاثي في الطرف الأيسر ونكتبه كمربع كامل أي \left ( x-5 \right )^{2}=16 ، خامساً نأخذ الجذر التربيعي للطرفين \sqrt{\left ( x-5 \right )^{2}}=\sqrt{16}\Rightarrow \left | x-5 \right |=4\Rightarrow x-5=4,x-5=-4 ، سادساً نكمل حل المعادلتين الخطيتين وسنحصل على حلّين للمعادلة التربيعية هما x=9,x=1.

 

ما هو المميز وما هي أهميته

 

إن مميز المعادلة التربيعية \left ( b^{2}-4ac \right ) حيث b هو معامل x و a هو معامل x^{2} و c هو الحد المطلق، هو الذي يحدد إذا كان للمعادلة حل أو ليس لها حل ، حيث إذا كان المميز أكبر من الصفر أو يساوي صفراً فإن المعادلة لها حل أما إذا كان أقل من الصفر فإن المعادلة ليس لها حل.

 

مثال للتوضيح: x^{2}-2x+3=0;b=-2,a=1,c=3 نطبق قاعدة المميز لمعرفة إذا كانت المعادلة التربيعية لها حل أو ليس لها حل. b^{2}-4ac=\left ( -2 \right )^{2}-4\times 1\times 3=4-12=-8< 0 ، إذا المميز هنا أقل من الصفر أي أن المعادلة ليس لها حل.

 

أشهر العلماء الذين درسوا المعادلة التربيعية

 

  • العالم الهندي براهماغوبتا وهو أول من توصل للصورة العامة.

 

  • العالم محمد بن موسى الخوارزمي ويعد أول من عرض في كتابه حساب الجبر والمقابلة أول حل للمعادلة التربيعية.

 

  • العالم التركي عبد الحميد إبن ترك.

 

  • العالم الإسباني براهام بارحيا.

 

المصدر
كتاب "الجبر والمقابلة" للمؤلف "العالم المسلم محمد بن موسى الخوارزمي"كتاب "مبادىء الإحصاء" للمؤلف "الدكتور محمد سمير دركزنلي و الدكتور عماد نظمي عطية" كتاب "أساسيات الرياضة البحته" للمؤلف "الدكتور ابراهيم عبد ربه" كتاب "الجبر المجرد" للمؤلف "ياسين عبد الواحد"

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى