المعادلة التفاضلية اللوجستية: هي معادلة تفاضلية عادية، بحيث يمثل نموذج المعادلات اللوجستية النمو المحدود، بحيث تفشل الاقترانات الأسية القياسية في مراعاة القيود التي تمنع النمو إلى أجل غير مسمى، وتصحح المعادلات اللوجستية هذا الخطأ.
المعادلة التفاضلية اللوجستية
ويمكن استخدام المعادلات التفاضلية لتمثيل حجم المجتمع الإحصائي لأنه يتغير بمرور الوقت، وتعطى المعادلة التفاضلية اللوجستية بالصيغة التالية:
dP/dt=rP(1−P/K)
K: تمثل القدرة الاستيعابية.
r: رقما حقيقيا يمثل معدل النمو.
الاقتران P(t): يمثل السكان كاقتران للوقت للزمن (t).
P0: يمثل المجتمع الإحصائي الأولي (عدد الكائن الحي في الوقت t = 0).
النمو السكاني والقدرة الاستيعابية
في النمو الأسي والاضمحلال للسكان، مثال على اقتران النمو الأسي، كما في الشكل التالي:
P (t) = P0 e^(rt)
في هذه الاقتران:
P (t) يمثل المجتمع الإحصائي في الوقت (t).
(P0) يمثل المجتمع الإحصائي الأولي السكان في الوقت (t = 0).
والثابت r>0 يسمى معدل النمو.
هذه المعادلة لها تفسير، إذ يمثل الطرف الأيسر المعدل الذي يزداد به عدد السكان (أو ينقص)، والطرف الأيمن يساوي ثابتاً موجباً مضروباً في المجتمع الإحصائي الحالي، لذلك تنص هذه المعادلة على أن معدل زيادة عدد السكان يتناسب مع عدد السكان في تلك المرحلة الزمنية.
تبين المعادلة الأسية أنه ينمو السكان بلا حدود، وهذا غير واقعي في بيئة العالم الحقيقي. هناك عوامل مختلفة تحد من معدل نمو مجموعة سكانية معينة، بما في ذلك معدل المواليد ومعدل الوفيات والإمدادات الغذائية والحيوانات المفترسة وما إلى ذلك، ثابت النمو (r) يمكن تفسيره على أنه معدل نمو صافي (الولادة ناقص الوفاة) لكل وحدة زمنية، لقد وجد علماء الأحياء أنه في العديد من الأنظمة البيولوجية، ينمو السكان حتى يتم الوصول إلى مجموعة معينة من الحالة المستقرة.
مثال: يمثل الرسم البياني التالي يمثل النمو السكاني بالنسبة للوقت حسب المعادلة.
P(t)=100 e^0.03t
حيث P0 =100, r = 0.03
