الهندسة الريمانية: وتسمى أيضاً الهندسة الإهليلجية، وهي واحدة من الهندسات غير الإقليدية التي ترفض تماماً صحة فرضية إقليدس الخامسة وتعدل فرضيته الثانية، ببساطة فرضية إقليدس الخامسة هي: من خلال نقطة ليست على خط معين، يوجد خط واحد فقط موازي للخط المحدد، في الهندسة الريمانية لا توجد خطوط موازية للخط المعطى، وفرضية إقليدس الثانية هي: يمكن تمديد خط مستقيم محدود الطول بشكل مستمر دون حدود.
الهندسة الريمانية
في الهندسة الريمانية، يمكن تمديد خط مستقيم بطول محدود بشكل مستمر دون حدود، ولكن جميع الخطوط المستقيمة لها نفس الطول، ومع ذلك، فإن مبادئ الهندسة الريمانية تعترف بالافتراضات الإقليدية الثلاثة الأخرى.
ظهرت أول الأعمال المنشورة حول الهندسة غير الإقليدية حوالي عام (1830) ، لم تكن هذه المنشورات معروفة لعالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان الذي قام في عام (1866) بتوسيع المفاهيم من بعدين إلى ثلاثة أبعاد أو أكثر، وظهر عالم رياضيات ألماني آخر فيليكس كلاين، ميز بين الفضاء الإهليلجي (القطبي) والفضاء الإهليلجي المزدوج (antipodal).
خصائص الهندسة الريمانية والإقليدية
على الرغم من أن بعض نظريات الهندسة الريمانية متطابقة مع نظريات الهندسة الإقليدية، إلا أن معظمها يختلف في الهندسة الإقليدية، وفي ما يلي أمثلة على بعض الإختلافات:
- في الهندسة الإقليدية يتم أخذ خطين متوازيين ليكونا متساويين في كل مكان، أما في الهندسة الإهليلجية لا توجد خطوط متوازية.
- في الهندسة الإقليدية مجموع زوايا المثلث هو زاويتان قائمتان، أما في الإهليلجية (الريمانية) يكون المجموع أكبر من زاويتين قائمتين.
- تسمح الأشكال الهندسية الريمانية بالمساحات المنحنية بأي عدد من الأبعاد وتشمل الأشكال الهندسية الإقليدية كحالات خاصة، الهندسة الإقليدية هي هندسة الفضاء المسطح (تحمل البديهية المتوازية)، حيث افترض إقليدس بعدين أو ثلاثة أبعاد فقط، ولكن يمكن تمديده إلى أبعاد أعلى.
- في الهندسة الإقليدية يمكن أن تكون المضلعات ذات المناطق المختلفة متشابهة، أما في الأشكال الإهليلجية، لا توجد مضلعات مماثلة لمناطق مختلفة.
