التحليل الأعداد المركبة (Complexanalysis): أو ما يعرف بالتحليل المعقد، وهو فرع من فروع الرياضيات يدرس الخصائص التحليلية لوظائف المتغيرات المركبة، ويتقاطع مع العديد من مجالات الرياضيات البحتة والتطبيقية.
الأعداد المركبة
يعد التحليل المعقد أداة قوية للغاية بشكل غير متوقع مع عدد كبير من التطبيقات العملية لحل المشكلات المادية، وتعود جذوره إلى قبل بداية القرن التاسع عشر، وفي الوقت الحال صار التحليل المركب مستخدم بكثرة بسبب استعماله في التحليل الديناميكي وغيرها الكثير من التطبيقات الحياتية الأخرى.
ما هي صيغة التحليل المركب
يمكن التعبير عن الأعداد المركبة بالصيغة الرياضية، كالتالي:
z = x + iy
w = u + iv
حيث أن:
- x, u: أعداد حقيقية.
- iv, iy : أعداد تخيلية.
- i: يمثل الجذر التربيعي للعدد ( -1) ويمكن تمثيله بالرمز (j).
ما هي الأعداد الحقيقية
أي رقم موجود في نظام الأرقام مثل موجب، سالب، صفر ، عدد صحيح، منطقي غير منطقي، كسور، إلخ، هو أرقام حقيقية.
ما هي الأرقام التخيلية
الأرقام غير الحقيقية هي أرقام خيالية، عندما نربّع رقمًا تخيليًا نحصل على نتيجة سلبية، بحيث أن الجذر التربيعي لا يقبل الأعداد السالبة، أي أنه يعطي ناتج عدد تخيلي مثل:
√-2, √-7, √-11
أمثلة على أعداد مركبة
- 1 + j: حيث يمثل الرقم (1) رقم حقيقي، ويمثل (j) رقماً تخيلياً.
- 13 – 3i: حيث يمثل العدد (13) رقم حقيقي، ويمثل (3i) عدداً تخيلياً.
- 1.2i + 0.89: حيث يمثل العدد الكسري (0.89) عدداً حقيقياً، ويمثل (1.2j) عدداً تخيلياً.
العمليات الجبرية على الأعداد المركبة
ويمكن إجراء جميع العمليات الحسابية على الأعداد المركبة كغيرها من الأعداد؛ أي أنه يمكن جمع الأعداد المركبة وطرحها، وضربها ببعضها البعض، وقسمتها على بعضها أيضًا، ولكن بطرق خاصة بها.
القواعد الحسابية للأعداد المركبة
قاعدة الجمع:
(a+bi) + (c+di) = (a+c)+ (b+d)i
قاعدة الطرح:
(a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b-d)i
قاعدة الضرب:
(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) +(ad+bc)i
