التكامل: أو ما يعرف المشتقة العكسية للإقتران، إذ ينتج من عملية التكامل إقتران جديد، ويشير التكامل إلى جمع البيانات المنفصلة، بحيث يتم حساب التكامل للعثور على الإقتراننات التي ستصف المساحة والإزاحة والحجم التي تحدث بسبب مجموعة من البيانات الصغيرة، والتي لا يمكن قياسها بشكل فردي.
تكامل الاقترانات الأسية للأساس الطبيعي
تستخدم الإقترانات الأسية واللوغاريتمية لنمذجة النمو السكاني ونمو الخلايا والنمو المالي، بالإضافة إلى الإستهلاك والإضمحلال الإشعاعي وإستهلاك الموارد، وغيرها الكثير، إذ يعتبر الإقتران الأسي هيو الإقتران الأكثر كفاءة من حيث عمليات حساب التفاضل والتكامل، بحيث يتم استخدام الإقترانات الأسية في العديد من تطبيقات الحياة الواقعية.
غالباً ما يرتبط الرقم (e) بالنمو المركب أو المتسارع، على الرغم من أن المشتق يمثل معدل تغير أو معدل نمو، فإن التكامل يمثل التغير الكلي أو النمو الكلي، ويعطى الإقتران الأسي للأساس الطبيعي بالصيغة التالية:
y = e^x
التكامل للإقترانات الأسية باستخدام الصيغ التالية.
∫e^x .dx= e^x + C
∫a^x .dx= a^x /ln a +C
يعبر الإقتران الأسي عن السعر والطلب بالعلاقة بين كمية المنتج المطلوب وسعر المنتج، بشكل عام ، ينخفض السعر مع زيادة الكمية المطلوبة، ويعبر التكامل لإقتران السعر والطلب عن مدى سرعة تغير السعر عند مستوى معين من الإنتاج.
مثال (1): أوجد المشتقة العكسية ( التكامل) للإقتران الأسي e^ -x.
الحل: افرض u = -x، du = – dx.
∫ e ^-x .dx = ∫ – e^u .du = – ∫ e^u .du
= – e^u + c
= – e^ -x + c
مثال (2): أوجد التكامل التالي:
∫x² e^−2x³.dx
الحل: نفرض u = -2x³.
du = -6 x² dx
dx = -1/6 x² du
بالتعويض في التكامل:
∫x² e^−2x³. dx = ∫ x² e^u (-1/6 x²) .du
= ∫ -1/6 e^u .du = -1/6 ∫ e^u .du = -1/6 e^u +C
بإعادة تعويض قيمة المتغير (X) بعد اكمال التكامل:
∫x² e^−2x³. dx =−1/6 e^−2x³ +C
