يشير تكرار الكسور إلى مفهوم رياضي رائع حيث يكرر الكسر نفسه إلى أجل غير مسمى بعد نقطة معينة في تمثيله العشري. هذه الكسور المتكررة ، المعروفة أيضًا باسم الكسور العشرية المتكررة أو الكسور الدورية ، قد أثارت اهتمام علماء الرياضيات لعدة قرون ولها تطبيقات في مجالات مختلفة ، بما في ذلك نظرية الأعداد والجبر والتحليل الحقيقي.
تكرار الكسور
لفهم تكرار الكسور ، دعنا نفكر في مثال. خذ الكسر 1/3. عندما نقسم 1 على 3 ، نحصل على 0.3333 … يتكرر الرقم 3 بلا حدود، مما يشير إلى كسر متكرر. يمكننا تمثيل هذه العلامة العشرية المتكررة بشكل أكثر إيجازًا باستخدام خط أفقي أو شريط فوق الأرقام المكررة ، مثل 0.3̅.
يحدث تكرار الكسور عندما يكون لمقام الكسر عوامل أولية غير 2 أو 5. على سبيل المثال ، 1/6 هي 0.1666 … ، و 1/7 هي 0.142857142857 … ، حيث تتكرر الأرقام 142857 إلى أجل غير مسمى. يمكن تمثيل هذه الكسور المتكررة باستخدام تدوين الشريط مثل 0.1̅6 و 0.142857̅ ، على التوالي.
طور علماء الرياضيات تقنيات مختلفة لتحويل الكسور العشرية المتكررة إلى كسور. على سبيل المثال ، لتحويل 0.142857 إلى كسر ، يمكننا الإشارة إليه على أنه x وضرب كلا طرفي المعادلة في قوة مناسبة 10 للتخلص من الجزء المتكرر. هذا يؤدي إلى 100000x = 142857. طرح x من 100000x يعطي 99999x = 142857 ، وإيجاد x ينتج x = 142857/99999 ، وهو ما يبسط إلى 1/7.
دراسة الكسور المتكررة لها روابط عميقة مع نظرية الأعداد ، وتحديداً خصائص الأعداد الأولية ، والعوامل ، والحساب النمطي. طور علماء الرياضيات خوارزميات أنيقة لتحديد ما إذا كان جزء معين سيتكرر أم لا.
تحتوي الكسور المتكررة أيضًا على تطبيقات عملية ، لا سيما في التمويل ، حيث يتم استخدامها لحساب أسعار الفائدة والمعاشات والأدوات المالية الأخرى. بالإضافة إلى ذلك ، وجدوا استخدامًا في معالجة الإشارات الرقمية ، حيث يمكن أن يمثلوا أنماطًا متكررة في الإشارات.
في الختام يعد تكرار الكسور مفهومًا رياضيًا مثيرًا للفضول استحوذ على علماء الرياضيات عبر التاريخ. يتضمن تمثيل الكسور على أنها كسور عشرية متكررة ، وقد ابتكر علماء الرياضيات تقنيات لتحويل هذه الكسور العشرية مرة أخرى إلى كسور. دراسة الكسور المتكررة لها تطبيقات نظرية وعملية ، مما يجعلها موضوعًا مهمًا في الرياضيات.
