طرق حل المعادلات التربيعية

حل المعادلة التربيعية: هو إيجاد حلول المعادلة التربيعية باستعمال طرق عدة مختلفة، طريقة التمثيل البياني، أو باستعمال الجذور التربيعية، أو طريقة إكمال المربع، أو طريقة القانون العام، أو طريقة التحليل إلى عوامل، ويتم إيجاد قيم (x)، التي تحقق المعدالة والتي تمثل حلول للمعادلة، أو جذور المعادلة أو أصفار المعادلة، للمعادلة التربيعية جذران على الأكثر، وفي ما يلي يتم توضيح ايجابيات وسلبيات كل طريقة من تلك الطرق.

ما هي طرق حل المعادلات التربيعية

1. التمثيل البياني

الإيجابيات: يمكنْ استعمال عملية التمثيل البياني لحل أي معادلة تربيعية، ويمكن بسهولة تحديد الحللول من التمثيل.

السلبيات: قد لا تعطي حلول دقيقة.

2. التحليل إلى العوامل

الإيجابيات: من أفضل الطرائق لتجربتها أولا، تعطي إجابة مباشرة إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل أو كان الحد الثابت صفر.

السلبيات: ليست جميع المعادلات التربيعية قابلة للتحليل.

3. استعمال الجذور التربيعية

الإيجابيات: تستعمل لحل المعادلات التربيعية على الصورة x² = d.

السلبيات: لا تستعمل إذا كان الحد bx موجوداً.

4. إكمال المربع

الإيجابيات: من السهل استعمالها إذا كان (a = 1) و (b) عدد زوجي، يمكن استعمالها لحل أي معادلة تربيعية على الصورة ax² + bx + c.

السلبيات: في بعض الأحيان تكون الحسابات معقدة.

5. القانون العام

الإيجابيات: يمكن استعمال القانون العام لحل أي معادلة تربيعية على الصورة (ax² + bx + c)، تعطي حلولاً دقيقة.

السلبيات: تستغرق وقتاً أطول من باقي الطرائق لإجراء الحسابات.

حل المعادلات التربيعية بيانيا

المعادلة التربيعية: هي معادلة غير خطية يمكن كتابنها على الصورة ( ax² + bx + c)، والتي تسمى الصورة القياسية للمعادلة التربيعية، ولكل اقتران تربيعي معادلة تربيعية مرتبطة به ويمكن الحصول عليها عند مساوات الإقتران بالصفر، اذ يتم حل المعادلة التربيعية بيانياً بايجاد جذور المعادلة أو أصفار الاقتران، وهي القيم التي يقطع فيها منحنى الاقتران المرتبط المحور السيني. ويمكن أن يكون للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان مختلفان، أو حل حقيقي واحد، أو لايكون لها حلول حقيقية.

يكون للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان إذا قطع منحنى الاقتران المحور السيني في نقطتين، ويكون لها حل حقيقي واحد إذا قطع منحنى الاقتران المرتبط المحور السيني في نقطة واحدة، ولايكون لها أي حل حقيقي إذا لم يقطع منحنى الإقتران المحور السيني في أي نقطة.

مثال: حل المعادلة التالية بيانياً (X² + 2x = 3).

في هذه الحالة يتم طرح 3 من طرفي المعادلة

X² + 2x – 3 = 0

أي أن الاقتران المرتبط بالمعادلة هو ( f(x) = x² + 2x – 3 ).

أمثل الاقتران المرتبط بالمعادلة بيانياً

معادلة محور التماثل x = -1.

إحداثيات رأس القطع المكافئ (-1,4).

نقاط تقاطع الاقتران مع المحور السيني عند { -3,1 }، اذا للمعادلة جذران هما للمعادلة جذران هما { -3,1 }.

للتأكد من الحل نقوم بتعويض الجذور في المعادلة الأصلية.

(1)² + 2(1) =^? 3

(3) = (3)  اذا الحل صحيح.

(-3)2 + 2(-3) =^? 3

(3) = (3) اذا الحل صحيح.

حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل

يتم حل المعادلات التربيعية بالتحليل بالإعتماد على خاصية الضرب الصفري، أي أنه إذاكان حاصل ضرب عددين حقيقيقين يساوي صفر، فإن أحدمها على الأقل يجب أن يساوي صفر، لحل المعادلة التربيعية بالتحليل أنقل جميغ أطراف المعادلة إلى الطرف الأيسر وأترك الصفر في الطرف الأيمن.

ثم يتم بعد ذلك تحليل المقدار الجبري بالطرف الأيسر إلى حاصل ضرب عاملين، ثم أساوي كل عامل بالصفر، وأحل كل معادلة خطية على حدى، فتكون حلول المعادلة التربيعية هي حلول المعادلتين الخطيتين، ويمكن إجراء تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل بالطرق التالية:

• إخراج العامل المشترك.

• تحليها وحلها باستخدام خاصية الضرب الصفري إذا كانت بالصورة القياسية ax² + bx + c.

• تحليل الفرق بين مربعين.

• تحليل المربعات الكاملة.

• التحليل باستعمال الجذر التربيعي.

مثال:

حل المعادلة التربيعية (x² – 2x + 1= 0)  بالتحليل.

بالتحليل إلى عوامل (x-1)(x-1) = 0.

اذا x = 1 هو حل المعادلة.

حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع

إكمال المربع: هو تحويل المقدار التربيعي على صورة (x² + bx) إلى مربع كامل ثلاثي الحدود، بإضافة (b/2)²، فتصبح المعادلة على صورة (x²+ bx + (b/2)² = (x+(b/2))² 

مثال:

أكمل المربع للمقدار التربيعي، ثم حلل المربع الكامل  ثلاثي الحدود الناتج، (x² + 12x).

  (b/2) = 6 إيجاد

(b/2)² = 36 إيجاد

إضافة (b/2)2 إلى المقدار الأصلي، فتصبح المعادلة x2 + 2x + 36 = ( x + 6 )²

الحل هو x = -6

حل المعادلات التربيعية باستعمال الجذورالتربيعية

تستخدم هذه الطريقة عندما لا يكون الحد الثاني في الصيغة العامة للمعادلة التربيعية غير موجوداً، فإنه يمكن حلها بوضع الحد التربيعي على طرف والحدود الثابتة على الطرف الآخر، ثم أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين، لإيجاد الحلول التي تحقق المعادلة.

مثال:

حل المعادلة التربيعية الآتية (X² – 16 = 0).

ننقل الحد الثابت على الطرف الآخر من المعادلة  (X² = 16)، ثم أخذ الجذر التربيعيّ للطرفين لينتج أن x = -4, x = 4.

حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام

• القانون العام: هو قانون يستعمل لحل المعادلة التربيعية مكتوبة على الصورة القياسية (ax² + bx +c = 0)، اذ انه تم اشتقاق هذا القانون باستعمال طريقة اكمال المربع، فيكون القانون العام، وبذلك يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام القانون العام.

• المميز: هو هو المقدار التربيعي الذي يقع أسفل الجذر التربيعي في القانون العام ( b² – 4ac )، ويرمز له بالرمز دالتا، ومن خلاله يمكن تحديد عدد الحلول الحقيقية للمعادلة التربيعية، فإذا كان المميز موجباً فإن للمعادلة التربيعية حلان حقيقيان مختلفان، أما إذا كان المييز سالباً فإنه لا يوجد حلول للمعادلة التربيعية، وإذا كان المميز يساوي فر فإن للمعادلة التربيعية حل حقيقي واحد.

مثال:

حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام القانون العام (2x² – 3x = 5).

نقوم بطرح 5 من طرفي المعادلة لتصبح المعادلة (2x² – 3x – 5 = 0).

نطبق القانون العام a = 2, b = -3, c = -5، فيكون الناتج هو x = -1, x = 5/2.

إذا جذرا المعادلة هما { -1, 5/2 }

التطبيقيات العملية لحل المعادلات التربيعية

• إذا كان مدخل أحد الأنفاق يمثله قطع مكافئ، فإنه يمن حساب ارتفاع النفق بالأمتار عند تعويض قيمة الإزاحة الأفقية X بالمتر في معادلة القطع المكافئ.

• حركة المقذوفات في الفيزياء والتي يمكن الاستفادة منها في العديد من التطبيقات العملية مثل تحليل حركة الطائرات،و صناعة الآليات الثقيلة.

• يمكن استعمال المعادلات التربيعية في ايجاد المساحات والأحجام للأشكال الهندسية، مثلا استخدامها في ايجاد سعة خزان الماء ذو الشكل المكعب.

• يمكن استعمال المعادلات التربيعية في العديد من التصميمات الإنشائية مثلا في تصميم جسور المشاة التي تأخذ شكل القطع المكافئ.

• استطاع العلماء مؤخرا ايجاد قنابل تحتوي على مواد تقوم بإخماد الحرائق، تطلق باستخدام مدفع من مسافة تصل إلى 5 كيلو متر نحو مناطق الإشتعال التي يصعب الوصول إليها مثل الغابات.

• حركة المقذوفات في الماورات والتدريبات العسكرية اذ يمكن حساب المسافة الأفقية بين موقع إطلاق القذيفة وموقع سقوطها.