الرياضياتالعلوم

كثيرات الحدود والعمليات عليها

كثيرة الحدود هو نوع خاص من الدوال (التطبيقات) لكن كثرة استخدامها في مجالات الرياضيات المختلفة بل في مسائل غير محدودة تنشأ من ظروف الحياة العامة. إن هذا النوع من الدوال يتمتع بالمرونة الكافية ليفي بشروط قليلاً ما تتحقق في الدوال عموماً، لهذا فهي أمثلة جيدة سهلة التعامل واضحة المعالم وبخاصة في نظرية المعادلات.

 

كثيرات الحدود

 

يحتوي على حاصل ضرب أعداد وحروف مثل: 3x و 4x^{2}y أحادي الحد هو مقدار جبري يحتوي على حد واحد فقط، وكثيرة الحدود تحتوي على أكثر من حد واحد، ويرمز لكثيرة الحدود بالرمز: f(x) أو h(x) أو g(x).

 

الدرجة: درجة أحادي الحد هي مجموع كل الأسس للمتغيرات في الحد، مثلاً درجة الحد 6x^{5} هي 5 ودرجة الحد 4x^{2}y هي 2+1=3 ، ودرجة كثيرة الحدود هي نفسها درجة الحد ذي الدرجة الأكبر. نلاحظ أن أسس المتغير في كل كثيرات الحدود هي أعداد صحيحة غير سالبة، وعلية فإذا احتوت الدالة حداً من الشكل x^{-1} أو x^{\frac{1}{2}} فلا تكون كثيرة حدود.

 

الحدود المتشابهة: هي الحدود التي تحتوي نفس المتغير بنفس الأس مثل 5x^{3} و 8x^{3} .

 

الصورة العامة لكثير الحدود

 

تكتب دالة كثير الحدود من الدرجة n على الصورة f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+.......+a_{1}x+a_{0},a_{0}\neq 0 تسمى الأعداد a_{n},a_{n-1},.......,a_{1},a_{0} بمعاملات دالة كثيرة الحدود، كما يسمى a_{n}بالمعامل الرئيس، a_{0} بالحد الثابت. مثال: جد درجة ومعاملات f\left ( x \right ) ، وكلاً من المعامل الرئيس والحد الثابت إذا كان f(x)=3x^{5}-2x^{4}+x^{2}+7x

 

الحل: درجة f\left ( x \right ) هي 5

المعاملات: a_{5}=3,a_{4}=-2,a_{3}=0,a_{2}=1,a_{1}=7,a_{0}=0

المعامل الرئيس: a_{5}=3 ، الحد الثابت: a_{0}=0

 

كثيرات الحدود الصفرية

 

كثيرة الحدود الصفرية f(x)=0 لجميع قيم x\in R ، يرمز لها بالرمز f_{0}(x)

 

تساوي كثيرات الحدود

 

إذا كانت f_{1}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+.......+a_{1}x+a_{0} ، f_{2}(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+.......+b_{1}x+b_{0}  كثيرتي حدود فإن f_{1}(x)=f_{2}(x) إذا تحقق الشرطان التاليان:

  • n=m أي أن لهما نفس الدرجة.

 

  • a_{n}=b_{m},a_{n-1}=b_{m-1},......,a_{1}=b_{1},a_{0}=b_{0} أي أن المعاملات المتناظرة فيها متساوية.

 

مثال: إذا كانت f_{1}(x)=px^{5}+2x^{3}-x^{2}+3 ، f_{2}(x)=4x^{5}+2x^{3}+qx^{2}+3 ، فجد قيمة كلاً من p,q التي تجعل f_{1}(x),f_{2}(x)  متساويتين.

الحل: لكي يكون f_{1}(x)=f_{2}(x) فيجب أن تكون: p=4 ، q=-1

 

جمع كثيرات الحدود

 

لجمع كثيرات الحدود، نجمع الحدود المتشابهة التي لها الدرجة نفسها، ونجمع معاملاتها.

مثال: إذا كان f(x)=2x^{2}-5x^{3}+4x-9 ,g(x)=7x^{3}+6x+4 فجد f(x)+g(x)

الحل: أولاً: بتعويض قيمة f(x) , g(x) كالتالي: f(x)+g(x)=\left (2x^{2}-5x^{3}+4x-9 \right ) +\left (7x^{3}+6x+4 \right )

ثانياً: بتجميع الحدود المتشابهة: f(x)+g(x)=2x^{2}+(-5x^{3}+7x^{3})+(4x+6x)+(-9+4)

ثالثاً: نجمع المعاملات f(x)+g(x)=2x^{2}+2x^{3}+10x-5

رابعاً: نرتب الناتج بحيث يصبح على شكل الصورة العامة أو الصورة القياسية أي تكون حدود الناتج مكتوبة بترتيب تنازلي من أكبرها درجة إلى أصغرها درجة f(x)+g(x)=2x^{3}+2x^{2}+10x-5

 

طرح كثيرات الحدود

 

لإيجاد ناتج طرح اقترانين، نحول عملية الطرح إلى جمع النظير الجمعي للمطروح، ثم نجمع.

تذكر: النظير الجمعي للاقتران f(x) هو -f(x) ، وينتج من عكس إشارات معاملات حدود f(x) .

مثال: إذا كان f(x)=2x^{2}-5x-3,g(x)=6x-7x^{2}-8 ، فجد f(x)-g(x)

الحل: أولاً: بتعويض قيمة f(x) , g(x) كالتالي:  f(x)-g(x)=2x^{2}-5x-3-(+6x-7x^{2}-8)

ثانياً: بتغيير الطرح إلى جمع، وتغيير إشارات المطروح: f(x)-g(x)=2x^{2}-5x-3+(-6x+7x^{2}+8)

ثالثاً: بتجميع الحدود المتشابهة وجمع المعاملات ينتج:

f(x)-g(x)=(2x^{2}+7x^{2})+(-5x-6x)+(-3+8)=9x^{2}-11x+5

 

ضرب كثيرات الحدود

 

لضرب كثيرات الحدود، نستعمل خاصية توزيع الضرب على الجمع. ويمكن أيضاً استعمال الطريقة العمودية في الضرب.

مثال: إذا كانت f(x)=3x^{3},g(x)=2x^{2}-5x-4 فجد ناتج ضرب f(x).g(x)

الحل: أولاً: بتعويض قيمة f(x) , g(x) كالتالي: f(x).g(x)=3x^{3}.(2x^{2}-5x-4)

ثانياً: بتوزيع الضرب على الجمع واستخدام خاصية التوزيع ثم التبسيط ينتج:

f(x).g(x)=3x^{3}.(2x^{2}-5x-4)=3x^{3}(2x^{2})+3x^{3}(-5x)+3x^{3}(-4)

=(3\times 2)(x^{3}.x^{2})+(3\times -5)(x^{3}.x)+(3\times -4)x^{3}

=6x^{5}-15x^{4}-12x^{3}

 

تستعمل كثيرات الحدود لتمثيل وحل مسائل حياتية كثيرة في الصناعة، والتجارة والاقتصاد والزراعة والتعليم ومعظم مناحي الحياة.

 

قسمة كثيرات الحدود

 

إن قسمة كثير حدود على آخر تشبه كثيراً عملية قسمة عدد كلي على آخر؛ إذ تتبع الخطوات نفسها في كلتا الحالتين. يمكن قسمة كثير الحدود f(x) على كثير الحدود h(x)\neq 0 إذا كانت درجة f(x) أكبر من أو تساوي درجة h(x) . لقسمة كثير حدود على آخر، نكتب المقسوم والمقسوم علية بالصورة القياسية. وإذا كانت إحدى قوى المتغير في المقسوم مفقودة، فإننا نضيفها في موقعها ونكتب معاملها 0، ثم ننفذ خطوات القسمة.

 

مثال: جد ناتج قسمة f(x)=2x^{3}+24x-15 على g(x)=x+5 ، وباقيها.

الحل: أولاً: بقسمة 2x^{3} على x ، وكتابة النتيجة 2x^{2} فوق الحد المشابه ثم ضربها بالمقسوم عليه (x+5) وثم بالطرح، وتنزيل 24x ينتج -10x^{2}+24x

ثانياً: بقسمة -10x^{2} على x ، وكتابة النتيجة -10x فوق الحد المشابه، ثم ضرب المقسوم عليه (x+5) في -10x وثم بالطرح، وتنزيل -15 ينتج 74x-15

ثالثاً: بقسمة 74x على x ، وكتابة النتيجة 74 فوق الحد الثابت، ثم ضرب المقسوم عليه (x+5) في 74 وثم بالطرح، ينتج -385

إذن، ناتج القسمة هو: 2x^{2}-10x+74، والباقي -385 ، ويمكن كتابة ذلك كما يأتي: \frac{2x^{3}+24x-15}{x+5}=2x^{2}-10x+74+\frac{-385}{x+5},x\neq -5

المصدر
كتاب "الرياضيات التطبيقية" للمؤلف "الدكتور عماد توما بني كرش"كتاب "أساسيات الرياضية البحته" للمؤلف "الدكتور ابراهيم عبد ربه"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"كتاب "الرياضيات للفضوليين" للمؤلف "بيتر إم هيجنز"

مقالات ذات صلة

اترك تعليقاً

زر الذهاب إلى الأعلى