تمت مناقشة كثافة الاحتمالية والحفاظ على الجسيمات في ميكانيكا الكم، حيث أن كثافة الاحتمال غير متسقة مع الحفاظ على الجسيمات في أي نظام كمي، ويمكن تجنب هذا التناقض بالحفاظ على الجسيمات؛ يجب أن يوجد نظام في مجموعات خطية من بعض (eigenstates) باستثناء الحالة الأرضية، حيث يتم تطبيق النقطة على ثلاثة أنظمة قابلة للحل تمامًا، كأي جسيم في إمكانات البئر ذات البعد الواحد والمذبذب التوافقي وذرة الهيدروجين.
مؤثر كثافة الاحتمال في فيزياء الكم
مؤثر كثافة الاحتمال هو تعبير إحصائي يحدد توزيع الاحتمالية (احتمالية وجود نتيجة) لمتغير عشوائي منفصل بدلاً من متغير عشوائي مستمر، والفرق بين المتغير العشوائي المنفصل هو أنه يمكنك تحديد قيمة دقيقة للمتغير.
مؤثر الكثافة هو أساسًا عدد الحالات المختلفة عند مستوى طاقة معين يُسمح للإلكترونات باحتلالها، أي عدد حالات الإلكترون لكل وحدة حجم لكل وحدة طاقة، وتعتمد خصائص الكتلة مثل الحرارة النوعية والقابلية المغناطيسية وظواهر النقل الأخرى للمواد الصلبة الموصلة على هذه الوظيفة، حيث يصف مؤثر الكثافة الاحتمالية التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي ومستمر.
تسمح حسابات مؤثر الكثافة للفرد بتحديد التوزيع العام للحالات كدالة للطاقة، ويمكن أيضًا تحديد التباعد بين نطاقات الطاقة في أشباه الموصلات، وتعرف كثافة الاحتمال بأنها هي الحجم التربيعي لدالة الموجة، ولقد تم تعريفها في المساحة بأكملها، ومن أجل الحصول عليها، يتعين على المرء حل معادلة شرودنغر في المساحة بأكملها.
تطبيقات مؤثر الكثافة الاحتمالية
لمؤثر الكثافة الاحتمالية تطبيقات واسعة جدا، مثلا يطبق في الكيمياء وعلوم المواد لتفسير سلوك النظام المعقد والتنبؤ به على نطاق ذري، وعلى وجه التحدي يتم تطبيق الأساليب الحسابية (DFT) للأنظمة ذات الصلة بالتوليف ومعاملات المعالجة، وفي مثل هذه الأنظمة، غالبًا ما تكون الدراسات التجريبية مثقلة بالنتائج غير المتسقة وظروف عدم التوازن.
هذا وقد تتضمن أمثلة تطبيقات مؤثر الكثافة المعاصرة دراسة تأثيرات (dopants) على سلوك تحول الطور في الأكاسيد، والسلوك المغناطيسي في مواد أشباه الموصلات المغناطيسية المخففة، ودراسة السلوك المغناطيسي والإلكتروني في المواد الفيروكهربائية وأشباه الموصلات المغناطيسية المخففة.
وقد ثبت أيضًا أن مؤثر الكثافة الاحتمالية يعطي نتائج جيدة في التنبؤ بحساسية بعض الهياكل النانوية للملوثات البيئية مثل ثاني أكسيد الكبريت أو الأكرولين، بالإضافة إلى التنبؤ بالخصائص الميكانيكية.
مؤثر كثافة الاحتمال له العديد من التطبيقات في مجالات الدراسة المختلفة مثل الإحصاء والعلوم والهندسة وبعض التطبيقات المهمة لوظيفة كثافة الاحتمال تتمثل في الإحصاء، حيث يتم استخدامه لحساب الاحتمالات المرتبطة بالمتغيرات العشوائية، وتُستخدم مؤثر كثافة الاحتمال في نمذجة البيانات السنوية للتركيز الزمني لأكاسيد النيتروجين في الغلاف الجوي، ويتم استخدامه لنمذجة احتراق محرك الديزل.
أهمية مؤثر الكثافة الاحتمالية
تعتبر نظرية الكم نظرية غريبة للغاية مع العديد من التنبؤات غير البديهية، ومع ذلك فإن العالم الكلاسيكي المألوف هو نتيجة الظواهر الكمومية على المستويات الذرية ودون الذرية، لذلك من المثير للاهتمام إنشاء روابط بين الأوصاف الكلاسيكية والكمية، وفهم كيفية ظهور العالم المجهري من العالم المجهري.
تتمثل إحدى الطرق المثيرة للاهتمام للحالات الكمومية الثابتة في مقارنة مؤثر كثافة الاحتمال المعطاة بواسطة معامل مربع الدالة الموجية مع “توزيع الاحتمالية الكلاسيكي” الذي تم الحصول عليه من معادلات الحركة الكلاسيكية المقابلة، ويمكن بعد ذلك إثبات أن كلتا الوظيفتين تقتربان من بعضهما البعض، في حدود الإثارات الكمومية الكبيرة، بمجرد حساب متوسط التذبذبات السريعة لكثافة الكم.
يمكن مقارنة توزيع الاحتمالات الكلاسيكية مباشرة بالتوزيع الكمي الصريح (التحليلي أو العددي) المقابل، ويتم ذلك من خلال في معادلات شرودنجر أحادية البعد، التي كان لمؤثر الكثافة الاحتمالية دور مهم في حلها.
الفرق بين مؤثر كثافة الاحتمال ومؤثر كتلة الاحتمال
يتمثل الاختلاف الرئيسي بين دالة كثافة الاحتمال ودالة كتلة الاحتمال، في أن مؤثر كثافة الاحتمال يُستخدم لوصف توزيع الاحتمال المستمر، بينما يستخدم مؤثر كتلة الاحتمال لوصف توزيع الاحتمال المنفصل.
شروط مؤثر الكثافة الاحتمالية
إن دالة كثافة الاحتمال صالحة إذا كانت تخضع لشرطين، الشرط الأول أنه يجب أن تكون f (x) غير سالبة لجميع قيم المتغير العشوائي، والشرط الثاني يجب أن تكون المساحة الموجودة أسفل f (x) مساوية لـ 1.
خصائص دالة الكثافة الاحتمالية
- بافتراض أن x يكون المتغير العشوائي المستمر مع دالة الكثافة f (x)، حيث يجب أن تفي دالة كثافة الاحتمال بعدة شروط وهي، بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر الذي يأخذ بعض القيمة بين حدود معينة، على سبيل المثال أ و ب، يتم حساب ملف مؤثر الكثافة الاحتمالية عن طريق إيجاد المنطقة الواقعة أسفل منحنىها والمحور X ضمن الحد الأدنى (أ) والحد الأعلى (ب).
- وبالتالي، يتم تقديم مؤثر الكثافة الاحتمالية بواسطة ص(x)=∫أبF(x) دx، حيث أن مؤثر كثافة الاحتمال غير سالبة لجميع القيم الممكنة، أي f (x) ≥ 0 لجميع قيم x، إن المساحة بين منحنى الكثافة والمحور X الأفقي تساوي 1 ، 1= ∫-∞∞F(x) دx.
- يمكن أن ترتبط ملفات مؤثر الكثافة الاحتمالية بمتغيرات عشوائية مستمرة، ومتوسط مؤثر الكثافة الاحتمالية هو دالة احتمالية مستمرة تكون فيها قيمة دالة التوزيع تساوي 0.5.
في نظرية الاحتمالات، يستخدم مؤثر كثافة الاحتمال لتحديد احتمال المتغير العشوائي الذي يأتي ضمن نطاق مميز من القيم، بدلاً من أخذ أي قيمة واحدة، وتشرح الوظيفة مؤثر كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي وكيف يوجد المتوسط والانحراف، ويتم استخدام التوزيع العادي القياسي لإنشاء قاعدة بيانات أو إحصائيات، وغالبًا ما تستخدم في العلوم لتمثيل المتغيرات ذات القيمة الحقيقية التي يكون توزيعها غير معروف.
