قانون غاوس

ما هو قانون غاوس؟

ينص قانون غاوس على أن صافي تدفق مجال كهربائي في سطح مغلق يتناسب طرديًا مع الشحنة الكهربائية المغلقة، كما إنها واحدة من المعادلات الأربع لقوانين ماكسويل للكهرومغناطيسية، الذي صاغه في البداية كارل فريدريش جاوس في عام 1835 ويربط المجالات الكهربائية عند النقاط الموجودة على سطح مغلق والشحنة الصافية المحاطة بهذا السطح.

عادة من المفترض أن تولد الشحنة الكهربائية الموجبة مجالًا كهربائيًا موجبًا،، حيث صدر القانون عام 1867 كجزء من مجموعة أعمال لعالم الرياضيات الألماني الشهير كارل فريدريش جاوس، وقانون غاوس هو قانون عام ينطبق على أي سطح مغلق، أي إنها أداة مهمة لأنها تسمح بتقييم مقدار الشحنة المغلقة عن طريق تعيين الحقل على سطح خارج توزيع الشحنة، وبالنسبة إلى الأشكال الهندسية للتناظر الكافي، فإنه يبسط حساب المجال الكهربائي.

كما يعرف قانون جاوس بإنه إجمالي التدفق الكهربائي من سطح مغلق يساوي الشحنة المغلقة مقسومة على السماحية، حيث يتم تعريف التدفق الكهربائي عبر منطقة ما على أنه المجال الكهربائي مضروبًا في مساحة السطح المسقطة في مستوى عمودي على المجال.

هناك طريقة أخرى لتصور هذا وهي النظر في مسار المنطقة A يمكنه قياس المجال الكهربائي بشكل عمودي على تلك المنطقة، وإذا تم اختيار أي سطح مغلق وخطوات فوق ذلك السطح، وقياس المجال العمودي مضروبًا في مساحته، فسيحصل على مقياس للشحنة الكهربائية الصافية داخل السطح، بغض النظر عن كيفية تكوين تلك الشحنة الداخلية.

مفهوم التدفق الكهربائي:

يتم تعريف التدفق الكهربائي على أنه المجال الكهربائي الذي يمر عبر منطقة معينة مضروبًا في مساحة السطح في مستوى عمودي على المجال، كما ينص بيان آخر لقانون غاوس على أن التدفق الصافي لمجال كهربائي معين عبر سطح معين، مقسومًا على الشحنة المغلقة، يجب أن يكون ثابتًا.

يعتبر مفهوم التدفق الكهربائي مفيد بالاقتران مع قانون جاوس، حيث يتم تعريف التدفق الكهربائي عبر منطقة مستوية، على أنه المجال الكهربائي مضروبًا في مكون المنطقة المتعامدة مع المجال، وإذا لم تكن المنطقة مستوية، فإن تقييم التدفق يتطلب عمومًا مساحة متكاملة؛ لأن الزاوية ستتغير باستمرار، وعندما يتم استخدام المنطقة A في عملية متجه مثل هذه، فمن المفهوم أن حجم المتجه يساوي المنطقة واتجاه المتجه عمودي على المنطقة.

تطبيقات قانون جاوس:

تعد الكهرباء والمغناطيسية من أكثر موضوعات الفيزياء جاذبية؛ وهذا لأن قوانينها ومبادئها مطبقة في كل مكان من حولنا من الطبيعة إلى الاختراعات، وعلى وجه الخصوص وبعد اكتشاف أن الكهرباء والمغناطيسية مترابطتان، مما أدى إلى تطور الكهرومغناطيسية، حيث كانت هناك تغييرات جذرية في عالم الفيزياء، بدءاً من اختراع المولدات والمحركات الكهربائية، إلى استخدامها لتشغيل القطارات التي تطفو على المسارات والجري بسرعات عالية جدًا، هوناك عدة قوانين أساسية تحكم في ظاهرة الكهرومغناطيسية.

قانون غاوس هو أداة قوية لحساب المجالات الكهربائية عندما تنشأ من توزيعات شحنة ذات تناظر كافٍ لتطبيقها، وسطوح Gauss ‘Law Gaussian ، مثلا الأسطح الغاوسية، وجزء من قوة قانون جاوس في تقييم المجالات الكهربائية هو أنه ينطبق على أي سطح، وغالبًا ما يكون من الملائم إنشاء سطح وهمي يسمى السطح الغاوسي للاستفادة من تناسق الوضع المادي، وإذا كان التماثل بحيث يمكنك العثور على سطح يكون عليه المجال الكهربائي ثابتًا، فيمكن عندئذٍ تقييم التدفق الكهربائي بضرب قيمة الحقل في مساحة السطح الغاوسي، حيث إنه إذا كان توزيع الشحنة يفتقر إلى التناظر الكافي لتطبيق قانون غاوس، فيجب إيجاد الحقل بجمع حقول شحنة النقاط لعناصر الشحن الفردية.

مساحة المجال الكهربائي على أي سطح مغلق تساوي الشحنة الصافية المحاطة بالسطح مقسومة على سماحية الفضاء، وقانون جاوس هو أحد معادلات ماكسويل، وهي المعادلات الأساسية الأربعة للكهرباء والمغناطيسية، كما يسمح قانون جاوس بتقييم المجال الكهربائي في العديد من المواقف العملية من خلال تكوين سطح غاوسي متماثل يحيط بتوزيع الشحنة وتقييم التدفق الكهربائي عبر هذا السطح.

المجال الكهربائي عند سطح موصل:

حقيقة أن الموصل في حالة توازن هو قيد مهم في هذه المشكلة، ويخبرنا أن المجال متعامد على السطح، وإلا فإنه سيؤثر بقوة موازية للسطح وينتج حركة الشحنة، وبالمثل يخبرنا أن المجال داخل الموصل يساوي صفرًا، لأنه بخلاف ذلك ستكون الشحنة تتحرك وليست في حالة توازن، وبالنسبة للموصل عند التوازن فإن:

1. الشحنة الكهربائية الصافية للموصل تقع بالكامل على سطحه، (يتطلب التنافر المتبادل للتهم المتشابهة من قانون كولوم أن تكون الشحنات متباعدة قدر الإمكان، وبالتالي على سطح الموصل).
   
2. المجال الكهربائي داخل الموصل يساوي صفر (قد يتسبب أي مجال كهربائي صافي في الموصل في تحريك الشحنة لأنها وفيرة ومتحركة، وهذا ينتهك حالة التوازن: صافي القوة= 0).
   
3. المجال الكهربائي الخارجي على سطح الموصل عمودي على هذا السطح؛ (إذا كان هناك مكون ميداني موازٍ للسطح، فسيؤدي ذلك إلى تحرك الشحنة المتنقلة على طول السطح في انتهاك لافتراض التوازن).
   

يُعد فحص طبيعة المجال الكهربائي بالقرب من سطح موصل تطبيقًا مهمًا لقانون غاوس، بالنظر إلى سطح غاوسي أسطواني موجه بشكل عمودي على السطح، يمكن ملاحظة أن المساهمة الوحيدة في التدفق الكهربائي هي من خلال الجزء العلوي من السطح الغاوسي، على الرغم من كونه صحيحًا تمامًا للموصل اللامتناهي، إلا أنه يخبرنا بالقيمة المحددة عندما نقترب من أي موصل في حالة توازن.

معادلة قانون جاوس:

قانون غاوس من خلال معادلة متكاملة (E⋅dA=Q/ε₀ ∫) ، حيث E هو ناقل المجال الكهربائي، Q هي الشحنة الكهربائية المرفقة، ε0 هي السماحية الكهربائية للمساحة الخالية، A هو متجه المنطقة العادية الذي يشير إلى الخارج.

كما يعطى التدفق وهو مقياس لشدة مجال يمر عبر سطح، على أنه: (Φ = E⋅dA).

يمكننا أن نفهم المجال الكهربائي على أنه كثافة التدفق، ويشير قانون غاوس إلى أن صافي التدفق الكهربائي عبر أي سطح مغلق هو صفر إلا إذا كان الحجم المحدد بهذا السطح يحتوي على شحنة صافية.

يمكن فهم قانون غاوس للمجالات الكهربائية بسهولة أكبر من خلال إهمال الإزاحة الكهربائية d في الأمور، قد لا تكون سماحية العزل الكهربائي مساوية لسماحية الفضاء الحر (أي ε ≠ ε0)، وفي هذه المسألة، يمكن فصل كثافة الشحنات الكهربائية إلى كثافة شحنة “حرة” (f) وكثافة شحنة “محدودة” (b) ، بحيث: (Ρ = ρ_f + ρ_b).

مثال: هناك ثلاث شحنات q1 و q2 و q3 تحتوي على شحنة 6 C و 5 C و 3 C محاطة بسطح، نجد التدفق الكلي المحاط بالسطح، حيث أن إجمالي الشحن:
Q = q1 + q2 + q3
=6c+ 3c + 5c
= 14 c
ϕ = Q/ϵ₀

ϕ = 14C / (8.854×10⁻¹² F/m)
التدفق الكلي المحاط بالسطح ϕ = 1.584 Nm²/C