ماهي خواص المحددات؟

إن الإلمام بمثل هذه الخواص يساعد في تسهيل إجراء العمليات الحسابية والجبرية بدلاً من ضياع الوقت والجهد في مثل هذه الإجراءات المطولة، عند إيجاد قيم هذه المحددات، وخاصة إذا كانت المحددات من الرتبة الثالثة فأكثر.

الخاصية الأولى:

إذا أخذت جميع عناصر أي صف أو أي عمود (أو أكثر) القيمة (صفر) في محدد ما فإن قيمة هذا المحدد تتلاشى أي تساوي (صفر).

= صفر – صفر + صفر.

الخاصية الثانية:

إذا تطابقت (قيمة وإشارة) العناصر المتناظرة في أي صفين أو أي عمودين في محدد ما، فإن قيمة هذا المحدد تتلاشى أي تأخذ القيمة صفر.
مثال: ما قيمة المحدد؟

= [ (8 × 4 × 1) + (-2 × 2 × 8) + (1 × 5 × -2) – (1 × 4 × 8) + (8 × 2 × -2) + (- 2 ×5 × 1)]
= [ (32 – 32 -10) +(32 – 32- 10)]
= (- 10 + 10) = صفر

الخاصية الثالثة:

إذا كانت جميع عناصر محدد ما كل منها تأخذ القيمة (صفر) ما عدا العناصر التي تقع على القطر الرئيسي، فإن قيمة هذا المحدد نحصل علية بضرب عناصر هذا القطر الرئيسي.
ما قيمة المحدد؟

= [1 × 5 × 3 + 0 × 0 × 0 + 0 × 0 ×0 ] – [0 × 5 ×0 + 1 × 0 ×0 + 0 × 0 ×3 ]
= [ 15 – 0] = 15
وهي تساوي (1 × 5 × 3) حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي، وعليه يمكن إيجاد قيمة مثل هذا المحدد الذي تتوفر فية الخاصية السابقة بمجرد النظر وبدون عناء فك المحدد.

الخاصية الرابعة:

لا تختلف قيمة أي محدد سواء تم استخدام عناصر صف ما أو عناصر عامود ما في فك هذا المحدد.
مثال: في المححدة التالية إذا تم استخدام عناصر العمود الثالث في إيجاد قيمة هذا المحدد نجد أن:

= 3 (2 × 1 -8 × – 4) + 2 (4 × 1- 8 × 5) + 6 (4 × 4 – 4 -2 × 5)
= 3 ( 2 + 32) + 2 (4 – 40) + 6 (-16 -10)
= 3 (24) + 2 (-26) + (-26)
= 103 – 72 -156
= 102 – 228 = -126

الخاصية الخامسة:

إذا تم استبدال عناصر الصفوف بعناصر الأعمدة أو العكس فإن قيمة هذا المحدد لا تتغير من حيث القيمة أو الأشارة.
مثال: ما قيمة المحدد التالي؟

= 1( (- 6 × – 3) – (2 × 1) ) – 4( (-1 × -3) -(2 × 5)) + 5 ((-1 ×1) – (-6 × 5))
= 1(18 – 2) – 4 (3 -10) + (-1 + 30)
= 16 + 28 + 145 = + 189

الخاصية السادسة:

إذا تم استبدال عناصر صف بعناصر صف آخر، أو عناصر عمود بعناصر عامود آخر في محدد ما بنفس الترتيب فإن قيمة هذا المحدد لا تتغير عددياً ولكن تتغير الإشارة فقط (بمعنى أنه إذا كانت إشارة المحدد الأصلي (+) فإن إشارة المحدد الجديدة ستكون(-) والعكس صحيح).
مثال:

= [ (1 × 3 × 9) + (-4 × -1 × 5) + (8 × 2 × 2) – (8 × 3 × 5) + (1 × – 1 × 2) +(-4 × 2 × 9) ]
[ (27 + 20 + 32) – (120 – 2 – 72)
= 79 -46
= + 33
وتكون القيمة النهائية تساوي:

= [ (5 × 3 ×8) + (2 × -1 × 1) + (9 × 2 × -4) – ((9 × 3 × -1) + (5 × -1 ×-4) + (2 × 2 × 8))
= [(120 – 2 -72) -(27 + 20 + 32)]
= 46 – 79 = -32
Δ = – Δ ₁
في اليمين ولكن تختلف عنها في الإشارة
حيث Δ ₁ إشارتها (-) أي -33
و Δ إشارتها (+) أي + 33
ونفس الشيء لو تم استبدال عناصر عامود في عامود آخر.

الخاصية السابعة:

إذا ما إحتوت عناصر صف ما أو عمود ما في محدد ما على عامل مشترك فإن هذا العامل المشترك يمكن إخراجه كثابت للمحدد وعليه تصبح قيمة المحدد الأصلي = العامل المشترك × محدد جديد ينتج لنا من قسمة عناصر ذلك الصف أو العمود على العامل المشترك الذي تم إخراجه.
ما قيمة المحدد دون فك المحددة:

نلاحظ على هذا المحدد أنه يمكن أخذ عامل مشترك وهي القيمة (2) من الصف الثالث، وتصبح قيمة المحدد:

وبملاحظة المحدد الجديد نجد أن عناصر الصفين الثاني والثالث متطابقين تماماً معنى ذلك أنه يساوي (صفر) طبقاً للخاصية الثانية.
إذاً قيمة المحدد الأصلي = 2 × صفر = صفر أيضاً.
إذا ضرب مقدار ثابت (ت) في محدد ما (Δ ₁) فإن هذا المقدار الثابت يتم ضربه في عناصر أحد الصفوف أو عناصر أحد الأعمدة فقط ولا يتم ضربه في جميع عناصر الصفوف والأعمدة لنفس المحدد.

الخاصية الثامنة:

إذا تم وضع كل عنصر من عناصر أحد الصفوف (أو أحد الأعمدة) على شكل مجموع حدين (أو الفرق بين حدين) في محدد ما، فإن هذا المحدد يمكن أن يعبر عنه بحاصل جمع محددين.