العلومالرياضيات

ما هو الاتصال

تمت تحريره بواسطة: - اخر تحديث : ١١:٥٨:٥٧ ، ٠٧ نوفمبر ٢٠٢١ - مشاهدات : ٤٣٣

اقرأ في هذا المقال

يكون الاقتران متصلاً إذا لم يكن في تمثيلة البياني أي انقطاع أو قفزة أو فجوة.

الاتصال عند نقطة

يكون الاقتران متصلاً عند نقطة إذا كان منحناه يمر عبر هذه النقطة دون انقطاع. إذن، يكون الاقتران \large f(x) متصلاً عند النقطة \large x=c إذا حقق الشروط الآتية جميعها:

  • \large f(c) موجودة.
  • \large \lim_{xightarrow c}f(x) موجودة.
  • \large \lim_{xightarrow c}f(x)=f(c).

تذكر: النهاية موجودة تعني أن النهاية من اليمين واليسار متساويتان، ووجود النهاية عند نقطة لا يعني بالضرورة أن الاقتران معرف عند تلك النقطة.

ملاحظة: 

  • كثيرات الحدود متصلة عند قيم \large x جميعها التي تنتمي إلى مجالها.
  • النهايات النسبية غير متصلة عند أصفار المقام .

مثال: حدد إذ كان كل اقتران مما يأتي متصلاً عند قيمة \large x المعطاة:

  • \large f(x)=x^{3}-x,x=3 الحل: الاقتران \large f متصل عند \large x=3 لأن \large f(3)=\lim_{xightarrow 3}f(x)=24
  • \large g(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x-2},x=2 الحل: الاقتران \large g غير متصل عند \large x=2 لأنه غير معرف عند أصفار المقام (المقام يساوي صفر).
  • \large p(x)=\begin{cases} \frac{x^{2}-16}{x-4} & \text{ if } xeq 4\\ 7 & \text{ if } x=4 \end{cases},x=4 لتحديد إذا كان الاقتران \large p متصلاً عند \large x=4 ، يجب إثبات أن\large \lim_{xightarrow 4}p(x)=p(4)           الحل: \large p(4)=7 ، \large \lim_{xightarrow 4}p(x)=\lim_{xightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{x-4}

أولاً: تحليل الفرق بين مربعين في البسط كالتالي : \large \lim_{xightarrow 4}\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}

ثانياً: اختصار العامل المشترك بين البسط والمقام والتبسيط ينتج التالي: \large \lim_{xightarrow 4}(x+4)

ثالثاً: بالتعويض المباشر والتبسيط ينتج: \large \lim_{xightarrow 4}(x+4)=4+4=8

بما أن \large \lim_{xightarrow 4}p(x)eq P(4)  إذن، \large P(x) غير متصل عند \large x=4

الاتصال عند فترة

إذا كان \large f اقتراناً معرفاً على الفترة \large \left [ a,b ight ] فإن:

  • \large f يكون متصلاً عند \large x=a من اليسار، إذا كانت \large \lim_{xightarrow a-}f(x)=f(a).
  • \large f يكون متصلاً عند \large x=b من اليمين، إذا كانت \large \lim_{xightarrow b+}f(x)=f(b).
  • \large f يكون متصلاً على الفترة \large \left ( a,b ight ) إذا كان متصلاً عند كل\large x\in \left ( a,b ight ).
  • \large f يكون متصلاً على الفترة \large \left [ a,b ight ] إذا كان متصلاً على الفترة \large \left ( a,b ight ) ومتصلاً عند \large x=a من اليسار، ومتصلاً عند \large x=b من اليمين.

ملاحظة: 

  • يكون الاقتران \large f متصلاً على الفترة \large [a,b) ، إذا كان متصلاً عند كل \large x\in (a,b) ، ومتصلاً عند \large x=a من اليسار.
  • يكون الاقتران \large f متصلاً على الفترة \large (a,b] ، إذا كان متصلاً عند كل \large x\in (a,b) ، ومتصلاً عند \large x=b من اليمين.
  • يكون الاقتران \large f متصلاً على الفترة \large (a,\infty ) إذا كان متصلاً عند كل \large x\in (a,\infty )
  • يكون الاقتران \large f متصلاً على الفترة \large (-\infty ,b) إذا كان متصلاً عند كل \large x\in (-\infty,b )
  • يكون الاقتران \large f متصلاً على \large R إذا كان متصلاً عند كل \large x\in R

مثال: إذا كان

\large f(x)=\begin{cases} 2x+2 & \text{ if } -2\leq x< 1\\ x+4 & \text{ if } 1\leq x\leq 5 \end{cases} ، لنبحث في اتصال الاقتران \large f على الفترة \large \left [ -2,5 ight ]

الحل:

  • الاقتران \large f متصل على الفترة \large \left ( -2,1 ight ) لأنه على صورة كثير حدود.
  • الاقتران \large f متصل على الفترة \large \left ( 1,5 ight ) لأنه على صورة كثير حدود.
  • نبحث في اتصال الاقتران \large f عند نقطة التفرغ وهي \large x=1 : \large \lim_{xightarrow 1+}f(x)=2\times 1+2=4 , \large \lim_{xightarrow 1-}f(x)=1+4=5 , \large f(1)=5 بما أن \large \lim_{xightarrow 1+}f(x)eq \lim_{xightarrow 1-}f(x) إذن، \large \lim_{xightarrow 1}f(x) غير موجودة وعليه فإن الاقتران  \large f غير متصل عند \large x=1
  • نبحث في اتصال الاقتران \large f عند \large x=-2 من اليسار : \large \lim_{xightarrow -2-}f(x)=2\times -2+2=-2 , \large f(-2)=-2 بما أن \large \lim_{xightarrow -2-}f(x)=f(-2) إذن، الاقتران \large f متصل عند العدد \large -2 من اليسار.
  • نبحث في اتصال الاقتران \large f عند \large x=5 من اليمين :\large \lim_{xightarrow 5+}f(x)=9 , \large f(5)=9 إذن، الاقتران \large f متصل عند العدد \large 5 من اليمين.

نستنتج مما سبق أن الاقتران \large f متصل على الفترة \large \left [ -2,5 ight ]-\left \{ 1 ight \}

نظريات الاتصال

نظرية (1): إذا كان \large f اقتران كثير حدود فإن \large f متصل على \large R .

نظرية (2): إذا كان \large f,g اقترانين متصلين عند \large x=a ، فإن:

  • الاقتران \large f+g متصل عند \large x=a
  • الاقتران \large f-g متصل عند \large x=a
  • الاقتران \large f\times g متصل عند \large x=a
  • الاقتران \large \frac{f}{g} متصل عند \large x=a ، \large g(a)eq 0
  • \large \frac{f}{g} غير متصل عند \large x=a ، إذا كانت \large g(a)= 0

نظرية (3): إذا كان \large f اقتران متصلاً عند \large x=a ، \large f(x)\geq 0 في فترة مفتوحة تحتوي، فإن الاقتران \large h(x)=\sqrt{f(x)} اقتران متصل عند \large x=a .

المصدر: كتاب " الوافي للرياضيات" للمؤلف "أحمد حماد شعبان سعد"كتاب "الرياضيات التطبيقية" للمؤلف "الدكتور عماد توما بني كرش"كتاب "عجائب الحساب العقلي" للمؤلف "براديب كومار"كتاب "الرياضيات للمليون" للمؤلف "لانسوت هوجين"

شارك المقالة:

وسوم: أنواع الاتصالالاتصالالاتصال عند فترةالاتصال عند نقطةالنهاياتنظريات الاتصال

مقالات مختارة

هل تعلم

أكثر المقالات مشاهدةً